SÉRIES ENTIÈRES

ASYMPTOTIQUES CALCULS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 511 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin »  : […] Si l'on désire un développement asymptotique à une précision plus grande, on fait appel à une technique beaucoup plus élaborée, la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin. On suppose ici que f  est suffisamment dérivable et que, pour tout entier k , la dérivée k -ième f  ( k) est négligeable devant f  ( k-1) . On se propose d'évaluer des sommes du type : par comparaison avec l'intégrale : Plus préc […] Lire la suite

BOREL ÉMILE (1871-1956)

  • Écrit par 
  • Maurice FRÉCHET
  •  • 2 309 mots

Dans le chapitre « Théorie des fonctions »  : […] Sommation des séries divergentes. L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes , il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important est la sommabilité exponentielle obtenue ainsi. Si u n est le […] Lire la suite

FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 46 367 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Séries entières »  : […] La somme d'une série entière de rayon de convergence R est une fonction indéfiniment différentiable dans son disque de convergence, et les dérivées successives à l'origine sont données par la formule de Taylor. Inversement, dans de nombreux problèmes, il est utile de représenter une fonction f de classe C∞ par sa série de Taylor. Mais ici la situation est très différente selon qu'on se place sur […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 13 422 mots
  •  • 9 médias

Dans le chapitre « Séries entières »  : […] La définition et l'étude des fonctions analytiques reposent sur la notion de série entière, c'est-à-dire de série de la forme : où a et les a n sont des nombres complexes donnés ; on dit qu'une telle série (1) est une série entière de centre a et de coefficients a n . On dit que la série (1) converge normalement dans un ensemble K ⊂  C si la série des modules de ses termes est uniformément con […] Lire la suite

HADAMARD JACQUES (1865-1963)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 395 mots

Dans le chapitre « Fonctions analytiques »  : […] Les premiers travaux d'Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d'une série entière : à partir des propriétés de la suite ( a n ) des coefficients de Taylor. Introduisant la notion de limite supérieure d'une suite qui se révèle essentielle dans toutes ces questions, il donne, dans un premier mémoire de 1888, l'ex […] Lire la suite

LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

  • Écrit par 
  • Jean LOUVEAUX
  •  • 846 mots

Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne et du Collège de France. De retour à Moscou, il prépare une maîtrise (1910), et devient professeur assistant à […] Lire la suite

SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL
  •  • 3 246 mots

La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xvii e  siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur une définition des limites, remontent seulement au début du xix e  siècle, avec les travaux d'Abel, de Cauchy et de Ga […] Lire la suite