DEDEKIND RICHARD (1831-1916)

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Les « nombres idéaux »

Euler (1707-1783) le premier s'était enhardi à faire des raisonnements de divisibilité portant sur des nombres qui n'étaient plus des entiers usuels, mais, par exemple, des nombres complexes de la forme m + n – 3, (m et n entiers rationnels) ; ces nombres forment un anneau, et Euler admettait sans justification que les lois de l'arithmétique classique (existence de nombres premiers et factorisation unique en facteurs premiers) gardaient leur validité pour cet anneau. Un peu plus tard, Gauss montra que, pour l'anneau des « entiers de Gauss », m + n – 1, il en est bien ainsi ; mais ses successeurs s'aperçurent que, si ce résultat pouvait s'étendre à certains anneaux analogues (par exemple, celui des nombres m + n 2), en revanche il y en avait d'autres) comme l'anneau des nombres m + n – 5) où une telle extension n'était pas possible, et, au début du xixe siècle, aucune solution générale de ces problèmes n'était en vue. Le pas décisif fut fait par Kummer en 1847, pour l'anneau Am engendré par les racines m-ièmes de l'unité (m entier arbitraire) ; en introduisant, à côté des éléments de Am, ce qu'il appelait des « nombres idéaux », il put prouver que, dans le domaine de ces nouveaux « nombres », les lois de l'arithmétique classique redevenaient valables. Mais, en fait, Kummer ne définit nulle part ce que serait un nombre idéal ; il se borne à introduire dans Am une suite de relations (où n'interviennent que des éléments de Am) qu'il désigne par des locutions telles que « être divisible par la n-ième puissance du k-ième nombre premier idéal » (en fait, nous savons aujourd'hui que cela revient à définir ce qu'on appelle les valuations sur l'anneau Am, mais cette notion n'a été dégagée qu'aux environs de 1900). De plus, les méthodes de Kummer étaient étroitement liées aux propriétés très spéciales des racines de l'unité, et ne paraissaient pas susceptibles d'extension au problème général de la divisibilité dans un anneau A engendré par un nombre fini d'entiers a [...]


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Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « DEDEKIND RICHARD - (1831-1916) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/richard-dedekind/