RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

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Méthodes générales de calcul

Pour revenir au cas général, résoudre un problème de résistance des matériaux, c'est trouver les champs de contrainte, de déformation et de déplacement qui vérifient simultanément les équations d'équilibre de l'élément de volume, les relations entre les déformations et le déplacement, les équations de comportement (loi de Hooke généralisée en élasticité) et les conditions aux frontières (efforts ou déplacements imposés).

Cela revient à résoudre un problème à quinze équations (dont certaines sont des équations aux dérivées partielles) à quinze inconnues, fonctions d'espace et éventuellement du temps (viscoplasticité). Sauf pour quelques cas particuliers, on ne sait pas trouver la solution rigoureuse et l'on se contente de solutions approchées. La plupart des méthodes de résolution consistent à imaginer, à des fonctions ou coefficients près, un champ de contrainte « statiquement admissible » (vérifiant les équations d'équilibre de l'élément de volume et les conditions aux limites du problème) ou un champ de déplacement cinématiquement admissible (vérifiant les conditions aux limites du problème), et à déterminer ces fonctions ou coefficients pour satisfaire au mieux les équations du problème. Des hypothèses cinématiques propres à certains types de structures aident aux choix des champs de déplacement : hypothèse de Bernoulli pour les poutres, hypothèse de Kirchhoff pour les coques (un élément normal à la surface moyenne de la coque reste normal après déformation).

La notion d'énergie de déformation W et les principes et théorèmes qui s'y rattachent conduisent à des solutions élégantes et rapides. On définit la variation d'énergie de déformation d'un solide V dans une transformation infiniment lente qui produit une variation dε du tenseur de déformation par :

Dans le cas d'une déformation élastique linéaire ε à partir de l'état naturel non chargé, l'énergie potentielle de déformation vaut :

Le principe des travaux virtuels constitue un moyen particulièrement fécond de traduire la loi fondamentale de l'équilibre statique : Pour tout déplacement virtuel, la somme des travaux des efforts extérieurs et des forces intérieures est identiquement nulle. Par le choix de mouvements particuliers, on peut construire logiquement les théories de poutres, de plaques ou de coques soumises à des chargements quelconques. On en déduit également le théorème de l'énergie potentielle : Le champ des déplacements réels, solution d'un problème donné, est le champ des déplacements cinématiquement admissibles qui minimise l'énergie potentielle du système. On peut alors appliquer la méthode de Rayleigh-Ritz qui consiste à imaginer une famille de champs cinématiquement admissibles dépendant de n paramètres Ci. L'énergie potentielle Wpot s'exprime en fonction de ces n variables ; son minimum absolu n'est pas forcément parmi toutes les combinaisons possibles des valeurs des n variables, puisque leur nombre est fini, mais, d'après le théorème énoncé, la combinaison la plus proche de la solution réelle est celle qui est solution des n équations algébriques :

La méthode des éléments finis adaptée aux calculs sur ordinateurs utilise ce principe. La structure est décomposée en petits éléments simples (éléments triangulaires pour les problèmes plans, pyramides pour les problèmes tridimensionnels) pour lesquels on connaît les relations entre efforts (forces et moments) et déplacements aux nœuds (sommets des éléments). La méthode consiste à trouver les déplacements aux nœuds de tous les éléments assemblés qui minimisent l'énergie potentielle. On est ainsi ramené à la résolution d'un système linéaire qui nécessite l'inversion d'une matrice. Le problème numérique correspondant est ardu à cause de la taille de cette matrice. Des progiciels permettent de décomposer la structure en au moins 10 000 éléments, ce qui correspond à des matrices (bandes) qui atteignent ou dépassent une taille de 50 000 × 50 000.

Toutes ces méthodes permettent de traiter des problèmes linéaires pour des petites déformations. Pour les problèmes non linéaires associés à des déformations importantes (plasticité, viscoplasticité), la technique consiste en des calculs « pas à pas », chaque pas correspondant à des accroissements petits pour lesquels le problème peut être linéarisé.

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Élément infiniment petit : déformation

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Pour citer l’article

Jean LEMAITRE, « RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/resistance-des-materiaux/