FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

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Graphe de f pour Nx(f)petit

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Graphe de f pour N1(f) petit

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Fonction à oscillation rapide

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Interpolations linéaire et parabolique

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Stabilité et consistance

On peut décrire les procédés linéaires d'approximation par le schéma général suivant : soit E et F des espaces vectoriels normés de fonctions, et u une application linéaire continue de E dans F. Un processus linéaire d'approximation de u est une suite (un) d'applications linéaires continues de E dans F telles que, pour tout élément f de E, un() converge vers u().

Le cas le plus classique est celui où F = E et où u est l'application identique de E, c'est-à-dire où un() converge vers f ; nous en avons fourni de nombreux exemples aux chapitres 4 et 5, les plus significatifs étant ceux des séries de Fourier et de l'interpolation de Lagrange. Le cas où F = C, c'est-à-dire où u est une forme linéaire sur E est aussi très intéressant (cf. analyse numérique).

Stabilité

Un des problèmes les plus importants, surtout pour l'analyse numérique, concerne la stabilité du processus (un) : si l'on fait une petite erreur sur la fonction f, c'est-à-dire si on remplace f par une fonction g proche de f dans E, un(g) converge-t-elle vers un élément proche de u() ? La réponse est fournie par le résultat suivant.

Théorème 1. Caractérisation des processus stables.

1. Si la suite (∥un∥) des normes des applications linéaires un est bornée par un nombre M indépendant de n, alors, pour tout couple (f, g) d'éléments de E :

2. Réciproquement, si (∥un∥) n'est pas bornée, alors, pour tout élément f de E, il existe une suite (gn) d'éléments de E qui converge vers f et telle que ∥un(gn) − u()∥ → + ∞.

C'est pourquoi, on dit que le processus (un) est stable dans le cas (1) et instable dans le cas (2).

En fait, ce résultat n'est pertinent que si les espaces normés E et F sont complets, car, si E n'est pas complet, E est un sous-espace dense d'un espace normé plus gros, à savoir son complété ; si bien que, en faisant une erreur sur f, on risque de passer à un élément g de Ê qui n'appartient pas à E. C'est le cas où, par exemple, Ê = C([a, b]) muni de la norme de la convergence uniforme et si E = Cp([a, b]). D'où l'intér [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/