FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Opérations sur les représentations et les approximations

Nous avons déjà vu que l'emploi des représentations pour la résolution des problèmes nécessite de pouvoir opérer sur ces représentations : il s'agit non seulement des opérations algébriques (tomme, produit...) mais aussi des opérations de passage à la limite (limites de suites, sommes de séries, intégration, dérivation). Ces problèmes rentrent dans le schéma général d'interversions de passages à la limite. Nous commencerons par préciser les propriétés stables par passage à la limite uniforme pour les suites de fonctions, ce qui est étroitement lié au cas des séries, puis nous examinerons le cas des représentations intégrales. Nous terminerons par quelques indications sur les autres modes de convergence.

Suites de fonctions

Les trois problèmes les plus importants sont les suivants.

Problème 1. Continuité et passage à la limite. Soit (f_n) une suite de fonctions continues sur un espace métrique A à valeurs complexes, convergeant sur A vers une fonction f. La fonction f est-elle continue sur A ?

La réponse est négative pour la convergence simple, comme le montre l'exemple A = [0, 1] et f (x) = xⁿ.

Théorème 1. Stabilité de la continuité. Si (f_n) converge uniformément vers f sur tout compact de A, alors f est continue sur A.

Problème 2. Passage à la limite dans les intégrales. On dispose de deux résultats très importants. Le premier est élémentaire.

Théorème 2. Passage à la limite dans les intégrales (cas compact).

Soit (f_n) une suite d'applications continues de [a, b] dans C qui converge uniformément vers f sur [a, b]. Alors :

(interversion des signes lim et ∫).

Ce résultat s'étend si on remplace le segment [a, b] par une partie compacte de R^m.

Le second résultat a une portée beaucoup plus générale ; il se place dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Lebesgue.

Théorème 2 bis (théorème de convergence dominée). Soit (f_n) une suite de fonctions à valeurs complexes intégrables sur I et qui converge simplement vers f sur I. On suppose qu'il existe une fonction ϕ ≥ 0, intégrable sur I, telle que l'on ait :

Alors f est intégrable et on a :

Ce résultat s'étend sans changement au cas où I est une partie localement compacte de R^m. Problème 3. Passage à la limite dans les dérivées. Soit (f_n) une suite de fonctions de classe C¹ sur un intervalle I de R, à valeurs complexes, convergeant vers f sur I. La fonction f est-elle de classe C¹ sur I et a-t-on Df = limDf_n ?

L'exemple de I = [0, 1] et f_n(x) = (sinnx)/n montre que la convergence uniforme ne suffit pas. Il faut donc faire des hypothèses sur la suite (Df_n). Théorème 3. Passage à la limite dans les dérivées. On fait les hypothèses suivantes sur la suite (f_n) :

a) f_n converge vers f uniformément sur tout compact de I ;

b) f ′_n converge vers g uniformément sur tout compact de I.

Alors f est de classe C¹ sur I et f ′ = g, autrement dit :

Ce théorème s'étend aussitôt aux fonctions de classe C^p et C∞ et au cas des fonctions définies sur un ouvert U de R^m.

On notera que, en revanche, dans le cas des fonctions analytiques d'une variable complexe, la convergence uniforme sur tout compact de f_n vers f entraîne celle de Df_n vers Df (théorème de Weierstrass, cf. fonctions analytiques -Fonctions d'une variable complexe, chap. 5).

Séries de fonctions

On se donne une série u_n de fonctions définies sur un espace métrique A et à valeurs complexes.

On dit que cette série converge simplement (resp. uniformément) vers une fonction f si la suite des sommes partielles

converge simplement (resp. uniformément) vers f.

Pour vérifier que la série converge uniformément, on utilise souvent la méthode des séries numériques majorantes. On dit qu'une série numérique β_n, β_n ≥ 0, est une série majorante sur A de la série de fonctions u_n si, pour tout n et pour t ∈ A, on a :

Si la série majorante converge, la convergence de la série u_n est uniforme sur A. Dans ces conditions :une telle série est dite normalement convergente sur A.

En appliquant les théorèmes sur les suites, on obtient les résultats suivants.

Théorème 1. Continuité de la somme. Si, pour tout n, la fonction u_n est continue sur A et si la série converge uniformément sur tout compact de A vers f, alors f est continue sur A.

Théorème 2. Intégration terme à terme sur un intervalle compact. Supposons que, pour tout n, la fonction u_n est continue sur [a, b] et que la série converge uniformément sur [a, b]. Alors :

Théorème 2 bis. Intégration terme à terme dans le cas non compact. Soit (u_n) une suite de fonctions à valeurs [...]

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