FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

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Opérations sur les représentations et les approximations

Nous avons déjà vu que l'emploi des représentations pour la résolution des problèmes nécessite de pouvoir opérer sur ces représentations : il s'agit non seulement des opérations algébriques (tomme, produit...) mais aussi des opérations de passage à la limite (limites de suites, sommes de séries, intégration, dérivation). Ces problèmes rentrent dans le schéma général d'interversions de passages à la limite. Nous commencerons par préciser les propriétés stables par passage à la limite uniforme pour les suites de fonctions, ce qui est étroitement lié au cas des séries, puis nous examinerons le cas des représentations intégrales. Nous terminerons par quelques indications sur les autres modes de convergence.

Suites de fonctions

Les trois problèmes les plus importants sont les suivants.

Problème 1. Continuité et passage à la limite. Soit (fn) une suite de fonctions continues sur un espace métrique A à valeurs complexes, convergeant sur A vers une fonction f. La fonction f est-elle continue sur A ?

La réponse est négative pour la convergence simple, comme le montre l'exemple A = [0, 1] et (x) = xn.

Théorème 1. Stabilité de la continuité. Si (fn) converge uniformément vers f sur tout compact de A, alors f est continue sur A.

Problème 2. Passage à la limite dans les intégrales. On dispose de deux résultats très importants. Le premier est élémentaire.

Théorème 2. Passage à la limite dans les intégrales (cas compact).

Soit (fn) une suite d'applications continues de [a, b] dans C qui converge uniformément vers f sur [a, b]. Alors :

(interversion des signes lim et ∫).

Ce résultat s'étend si on remplace le segment [a, b] par une partie compacte de Rm.

Le second résultat a une portée beaucoup plus générale ; il se place dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Lebesgue.

Théorème 2 bis (théorème de convergence dominée). Soit (fn) une suite de fonctions à valeurs complexes intégrables sur I et qui converge simplement vers f sur I. On suppose qu'il existe une fonction ϕ ≥ 0, intégrable sur I, telle que l'on ait :

Alors f est intégra [...]


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Graphe de f pour Nx(f)petit

Graphe de f pour Nx(f)petit
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Graphe de f pour N1(f) petit

Graphe de f pour N1(f) petit
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Fonction à oscillation rapide

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Interpolations linéaire et parabolique

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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/