FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

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Graphe de f pour Nx(f)petit

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Graphe de f pour N1(f) petit

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Fonction à oscillation rapide

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Interpolations linéaire et parabolique

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Interpolation et discrétisation

Position du problème

Ce sont les problèmes de tabulation numérique des fonctions transcendantes élémentaires (lignes trigonométriques, logarithmes) et, à partir du xviie siècle, le calcul approché des intégrales et des dérivées qui ont été à l'origine du développement des méthodes interpolatoires. D'autre part, dans de nombreux phénomènes continus intervenant en sciences physiques, décrits par exemple à l'aide d'une fonction, on ne connaît les valeurs de cette fonction qu'en un certain nombre de points qui correspondent aux mesures effectuées. Les problèmes issus de l'astronomie, en particulier la détermination de la trajectoire des planètes, ont aussi joué un rôle moteur, comme en témoignent notamment les travaux d'Euler, Lagrange, Legendre, Laplace et Gauss.

Dans tous les cas, le phénomène continu est remplacé par un phénomène discret. Plus précisément, supposons que le phénomène continu est décrit par une fonction numérique f d'une variable réelle. On se donne une subdivision S de l'intervalle [α, β], c'està-dire une suite croissante (α0, α1, ..., αn) de points de [α, β] ; le module de la subdivision S est le nombre :

Lorsque α0 = α, αn = β et, pour tout j, αj+1 − αj = (β − α)/n, on dit que la subdivision  est  à  pas  constant,  et Δ(S) = (β − α)/n s'appelle le pas de S.

Dans ces conditions, on associe à S la suite finie (0), ..., n)). Nous dirons qu'il s'agit d'une discrétisation de f (cf. analyse numérique). Le problème est alors de savoir dans quelle mesure on peut reconstituer f à partir des phénomènes discrétisés associés. À cet effet, on interpole la suite précédente par une fonction simple, par exemple une fonction polynomiale que nous noterons PS(), de degré ≤ n, prenant aux points αj les mêmes valeurs que f. Dans le cas où S est à pas constant, cette méthode a été élaborée dès le xviie siècle, notamment par Newton et Gregory, dans le cadre du calcul des différences finies (cf. infra). L'étude du cas général a été ébauchée par Newton et reprise par Lagrange, Cauchy et Hermite.

Il s'agit alors d'estimer la différence f

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/