FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

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Graphe de f pour Nx(f)petit

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Graphe de f pour N1(f) petit

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Fonction à oscillation rapide

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Interpolations linéaire et parabolique

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Approximation par des suites

Le problème de la représentation des fonctions comme limites de fonctions plus simples est intimement lié à celui de l'approximation des fonctions, qui ne relève pas uniquement de problèmes d'analyse numérique mais constitue un mode de représentation utile dans des questions d'ordre théorique : problèmes d'existence et d'unicité, démonstration de théorèmes par passage à la limite (argument de densité...). Les procédés d'approximations sont très divers ; nous avons retenu cinq méthodes importantes.

Méthodes convolutives

On utilise l'effet régularisant de la convolution : si f est une fonction peu régulière et si ϕ est très régulière, alors f * ϕ est aussi régulière que ϕ. En introduisant une approximation de l'unité, c'est-à-dire une suite (ϕn) de fonctions très régulières convergeant vers la mesure de Dirac δ (cf. supra, chap. 2), on approche f par des fonctions très régulières f * ϕn = fn.

Le fait que les fonctions ϕn soient à valeurs positives joue ici un rôle essentiel. Ce procédé d'approximation est particulièrement intéressant : en effet, lorsque f est de classe Cp, non seulement fn converge vers f, mais, pour tout ≤ p, les dérivés Dkfn convergent vers Dkf. En prenant pour ϕn des fonctions C∞ à support compact, on obtient la densité des fonctions C∞ dans la plupart des espaces fonctionnels classiques et même des espaces de distributions ; ainsi, pour tout ouvert U de Rn, l'espace vectoriel D(U) des fonctions de classe C∞ dans U à support compact est dense dans l'espace vectoriel K(U) des fonctions continues à support compact contenu dans U.

En prenant pour ϕn des fonctions polynomiales, on obtient une démonstration du théorème d'approximation polynomiale de Weierstrass ; on peut prendre par exemple le noyau de Landau :

an est une constante de normalisation, c'est-à-dire telle que :
La même méthode s'applique aussi à l'approximation uniforme des fonctions continues périodiques : on peut prendre par exemple les noyaux de Fejer (cf. séries trigonométriques, chap. 1) ou de La Vallée Poussin :
an est une constante de normalisation.

On n [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/