FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
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Approximation par des suites
Le problème de la représentation des fonctions comme limites de fonctions plus simples est intimement lié à celui de l'approximation des fonctions, qui ne relève pas uniquement de problèmes d'analyse numérique mais constitue un mode de représentation utile dans des questions d'ordre théorique : problèmes d'existence et d'unicité, démonstration de théorèmes par passage à la limite (argument de densité...). Les procédés d'approximations sont très divers ; nous avons retenu cinq méthodes importantes.
Méthodes convolutives
On utilise l'effet régularisant de la convolution : si f est une fonction peu régulière et si ϕ est très régulière, alors f * ϕ est aussi régulière que ϕ. En introduisant une approximation de l'unité, c'est-à-dire une suite (ϕn) de fonctions très régulières convergeant vers la mesure de Dirac δ (cf. supra, chap. 2), on approche f par des fonctions très régulières f * ϕn = fn.
Le fait que les fonctions ϕn soient à valeurs positives joue ici un rôle essentiel. Ce procédé d'approximation est particulièrement intéressant : en effet, lorsque f est de classe Cp, non seulement fn converge vers f, mais, pour tout k ≤ p, les dérivés Dkfn convergent vers Dkf. En prenant pour ϕn des fonctions C∞ à support compact, on obtient la densité des fonctions C∞ dans la plupart des espaces fonctionnels classiques et même des espaces de distributions ; ainsi, pour tout ouvert U de Rn, l'espace vectoriel
En prenant pour ϕn des fonctions polynomiales, on obtient une démonstration du théorème d'approximation polynomiale de Weierstrass ; on peut prendre par exemple le noyau de Landau :



On n [...]
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l’article se compose de 28 pages
Écrit par :
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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Pour citer l’article
Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/