FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Approximation par des suites

Le problème de la représentation des fonctions comme limites de fonctions plus simples est intimement lié à celui de l'approximation des fonctions, qui ne relève pas uniquement de problèmes d'analyse numérique mais constitue un mode de représentation utile dans des questions d'ordre théorique : problèmes d'existence et d'unicité, démonstration de théorèmes par passage à la limite (argument de densité...). Les procédés d'approximations sont très divers ; nous avons retenu cinq méthodes importantes.

Méthodes convolutives

On utilise l'effet régularisant de la convolution : si f est une fonction peu régulière et si ϕ est très régulière, alors f _* ϕ est aussi régulière que ϕ. En introduisant une approximation de l'unité, c'est-à-dire une suite (ϕ_n) de fonctions très régulières convergeant vers la mesure de Dirac δ (cf. supra, chap. 2), on approche f par des fonctions très régulières f _* ϕ_n = f_n.

Le fait que les fonctions ϕ_n soient à valeurs positives joue ici un rôle essentiel. Ce procédé d'approximation est particulièrement intéressant : en effet, lorsque f est de classe C^p, non seulement f_n converge vers f, mais, pour tout k ≤ p, les dérivés D^kf_n convergent vers D^kf. En prenant pour ϕ_n des fonctions C∞ à support compact, on obtient la densité des fonctions C∞ dans la plupart des espaces fonctionnels classiques et même des espaces de distributions ; ainsi, pour tout ouvert U de Rⁿ, l'espace vectoriel D(U) des fonctions de classe C∞ dans U à support compact est dense dans l'espace vectoriel K(U) des fonctions continues à support compact contenu dans U.

En prenant pour ϕ_n des fonctions polynomiales, on obtient une démonstration du théorème d'approximation polynomiale de Weierstrass ; on peut prendre par exemple le noyau de Landau :

où a_n est une constante de normalisation, c'est-à-dire telle que :La même méthode s'applique aussi à l'approximation uniforme des fonctions continues périodiques : on peut prendre par exemple les noyaux de Fejer (cf. séries trigonométriques, chap. 1) ou de La Vallée Poussin :où a_n est une constante de normalisation.

On n [...]

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