FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

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Graphe de f pour Nx(f)petit

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Graphe de f pour N1(f) petit

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Fonction à oscillation rapide

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Interpolations linéaire et parabolique

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Représentations par des séries

Séries entières

La somme d'une série entière de rayon de convergence R est une fonction indéfiniment différentiable dans son disque de convergence, et les dérivées successives à l'origine sont données par la formule de Taylor.

Inversement, dans de nombreux problèmes, il est utile de représenter une fonction f de classe C∞ par sa série de Taylor. Mais ici la situation est très différente selon qu'on se place sur le corps des nombres complexes ou sur celui des nombres réels. Dans le premier cas, la série de Taylor converge toujours vers la fonction dans tout disque où f est de classe C∞ (d'ailleurs la dérivabilité suffit ; cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 2). Dans le cas du corps des réels, il existe des fonctions C∞ dans un intervalle ]− a, a[ dont la série de Taylor converge, mais vers une autre fonction : c'est le cas de la fonction f définie par (0) = 0, (x) = exp(− 1/x2), exemple introduit par Cauchy dans son Cours d'analyse (1821). Il existe aussi des fonctions C∞ dont la série de Taylor a un rayon de convergence nul : c'est le cas de la fonction :

Plus précisément, Émile Borel a montré que, pour toute suite (an) de nombres complexes, il existe une fonction C∞ sur R telle que, pour tout n, (n)(0) = an. Autrement dit, l'application de Taylor T de C∞(R) dans l'anneau C[[X]] des séries formelles à coefficients complexes, définie par :

est surjective.

Il n'est donc pas possible, comme l'a tenté Lagrange dans la Théorie des fonctions analytiques (1797), de fonder le calcul différentiel sur le développement en série de Taylor.

Ce phénomène est à l'origine du concept de fonction analytique réelle : ce sont les fonctions de classe C∞ dans un intervalle ouvert I de R développables en série de Taylor au voisinage de chaque point a de I. Ces fonctions peuvent être caractérisées parmi les fonctions C∞ dans I à l'aide d'inégalités du type suivant, portant sur la rapidité de croissance des modules des dérivées successives : pour tout intervalle compact [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/