FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

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Représentations par des intégrales

Forme intégrale des restes

Dans les problèmes de calcul différentiel, la forme intégrale des restes de développements en séries ou de développements asymptotiques est essentielle pour le contrôle de ces restes : formule de Taylor classique, formule interpolatoire de Lagrange-Hermite (cf. infra, chap. 4). À la formule de Taylor se rattache le théorème de division des fonctions différentiables : Soit f une fonction de classe Cp sur un intervalle I de centre a avec (a) = 0 ; alors f peut s'écrire sous la forme :

Il en découle que g est de classe Cp-1 et que, pour I compact, on a, pour tout entier ≤ p − 1, la majoration :
où Mn(h) désigne le maximum du module de la dérivée n-ième de h sur I.

Ce théorème se généralise aussitôt à plusieurs variables : Si (a) = 0, avec a = (a1, ..., an), alors, pour tout x = (x1, ..., xn), on a :

où les fonctions gi sont de classe Cp-1 si f est de classe Cp. Ce théorème est à la base de la théorie des idéaux de fonctions différentiables (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables, chap. 3).

Transformations de Fourier et de Laplace

Dans les problèmes d'analyse harmonique des phénomènes non périodiques (cf. analyse harmonique, chap. 3), on utilise la transformation de Fourier, réelle ou complexe, définie par la relation :

(ou des formes analogues selon les auteurs), et la formule d'inversion :
intuitivement, la formule (1) décompose le signal ↦ () suivant toutes ses composantes harmoniques (analyse harmonique du signal), tandis que la formule (2) permet de reconstituer ce signal f à partir de ses composantes (synthèse harmonique du signal).

Dans le cas des fonctions définies dans [0, + ∞[, qui interviennent dans l'étude des régimes non permanents, on utilise la transformation de Laplace :

(cf. calcul symbolique). Cette transformation intervient aussi dans la résolution des équations différentielles à coefficients algébriques, notamment l'équation hypergéométrique (cf. calculs asymptotiques, chap. 6).

Les transformations de Fourier et de Laplace se généralisent aussi aux espaces Rn et jouent al [...]


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Graphe de f pour Nx(f)petit

Graphe de f pour Nx(f)petit
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Graphe de f pour N1(f) petit

Graphe de f pour N1(f) petit
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Fonction à oscillation rapide

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Interpolations linéaire et parabolique

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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/