FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

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Représentations par des intégrales

Forme intégrale des restes

Dans les problèmes de calcul différentiel, la forme intégrale des restes de développements en séries ou de développements asymptotiques est essentielle pour le contrôle de ces restes : formule de Taylor classique, formule interpolatoire de Lagrange-Hermite (cf. infra, chap. 4). À la formule de Taylor se rattache le théorème de division des fonctions différentiables : Soit f une fonction de classe Cp sur un intervalle I de centre a avec (a) = 0 ; alors f peut s'écrire sous la forme :

Il en découle que g est de classe Cp-1 et que, pour I compact, on a, pour tout entier ≤ p − 1, la majoration :
où Mn(h) désigne le maximum du module de la dérivée n-ième de h sur I.

Ce théorème se généralise aussitôt à plusieurs variables : Si (a) = 0, avec a = (a1, ..., an), alors, pour tout x = (x1, ..., xn), on a :

où les fonctions gi sont de classe Cp-1 si f est de classe Cp. Ce théorème est à la base de la théorie des idéaux de fonctions différentiables (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables, chap. 3).

Transformations de Fourier et de Laplace

Dans les problèmes d'analyse harmonique des phénomènes non périodiques (cf. analyse harmonique, chap. 3), on utilise la transformation de Fourier, réelle ou complexe, définie par la relation :

(ou des formes analogues selon les auteurs), et la formule d'inversion :
intuitivement, la formule (1) décompose le signal ↦ () suivant toutes ses composantes harmoniques (analyse harmonique du signal), tandis que la formule (2) permet de reconstituer ce signal f à partir de ses composantes (synthèse harmonique du signal).

Dans le cas des fonctions définies dans [0, + ∞[, qui interviennent dans l'étude des régimes non permanents, on utilise la transformation de Laplace :

(cf. calcul symbolique). Cette transformation intervient aussi dans la résolution des équations différentielles à coefficients algébriques, notamment l'équation hypergéométrique (cf. calculs asymptotiques, chap. 6).

Les transformations de Fourier et de Laplace se généralisent aussi aux espaces Rn et jouent alors un rôle fondamental dans la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires (cf. équations aux dérivées partielles - Théorie linéaire) et plus généralement des équations de convolution (cf. automatique, théorie du signal). Elles jouent aussi un rôle de premier plan en calcul des probabilités, sous la forme des fonctions caractéristiques d'une loi de probabilité (cf. calcul des probabilités, chap. 3), dans la théorie des processus stochastiques du second ordre (cf. processus stochastiques, chap. 5 ; théorie du signal) et en mécanique quantique.

On peut aussi rattacher à l'analyse harmonique la transformation de Mellin, définie par la relation :

qui n'est autre que la transformation de Fourier sur le groupe multiplicatif R+* dont la mesure invariante est dt/t (cf. analyse harmonique). Cette transformation intervient notamment dans les problèmes multiplicatifs de la théorie des nombres (cf. théorie des nombres-Théorie analytique) ; la fonction gamma d'Euler (cf. fonction gamma) joue ici un rôle central.

Emploi de la dualité

La dualité consiste à représenter une fonction comme une forme linéaire sur un espace E de fonctions convenablement choisi. Ainsi, toute fonction f de puissance p-ième intégrable définit une forme linéaire continue Tf sur l'espace Lq des fonctions de puissance q-ième intégrable, pour 1/p + 1/q = 1, par la formule :

lorsque 1 < < + ∞, on obtient ainsi toutes les formes linéaires continues sur Lq (cf. intégration et mesure, chap. 4). Mais, en utilisant d'autres espaces fonctionnels, on obtient ainsi des objets plus généraux que les fonctions. Cela tient au fait que, dans de nombreux problèmes, les opérations de passage à la limite nécessitent de sortir du cadre de la théorie des fonctions. Considérons par exemple une suite (ϕn) de fonctions continues positives sur R telles que, pour tout n,
(cf. distributions, ), et dont la masse se concentre à l'origine, c'est-à-dire que, pour tout > 0,

Graphe de f pour Nx(f)petit

Dessin : Graphe de f pour Nx(f)petit

Graphe de f pour Nx(f)petit. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Intuitivement, les fonctions ϕn tendent vers la « fonction » δ de Dirac, que les physiciens définissent par δ(0) = + ∞, δ(x) = 0 pour ≠ 0 et ∫δ(dt = 1. Mais il n'existe aucune fonction, au sens précis de ce concept en mathématiques, satisfaisant à ces relations. Il suffit de considérer, pour s'en convaincre, 2δ. On tourne alors la difficulté de la manière suivante : on démontre d'abord que, pour toute fonction f continue à support compact sur R,

À toute fonction ϕ continue sur R, on associe la forme linéaire :

sur l'espace vectoriel E = K(R) des fonctions continues à support compact. La relation (1) s'interprète alors de la manière suivante :
où δ est la forme linéaire sur E telle que ↦ (0). En outre, l'application ϕ ↦ Tϕ permet de plonger l'espace K(R) dans son dual topologique, à savoir, l'espace M(R) des mesures de Radon sur R. Lorsque E est l'espace D(R), on obtient les distributions.

Le principal intérêt de ces généralisations de la notion de fonction est de fournir un cadre théorique permettant d'opérer en toute sécurité sur les représentations (cf. infra, chap. 5). L'utilisation des transformations de Fourier et de Laplace pour le calcul symbolique et les équations aux dérivées partielles est à cet égard exemplaire.

Noyaux de convolution

Les noyaux de convolution constituent un autre exemple très intéressant de représentation intégrale. Ils interviennent d'abord dans la résolution des équations différentielles à coefficients constants avec second membre P(D)f = b, f (0) = 0 ; si on introduit la solution élémentaire E définie par la relation P(D)E = δ, où δ est la mesure de Dirac, alors f = E * b, c'est-à-dire :

Cette méthode s'applique aussi aux équations aux dérivées partielles à coefficients constants (cf. équations aux dérivées partielles-Théorie linéaire). En particulier, dans le cas du laplacien en dimension trois, on a :
la solution élémentaire est donc E(x) = − 1/4π∥x∥. Le potentiel V, solution de l'équation de Poisson ΔV = − 4πμ, où μ est à support compact, est donc donné par l'intégrale de convolution :

De même, la résolution du problème de Dirichlet pour le cercle fait intervenir le noyau de Poisson (cf. potentiel et fonctions harmoniques, chap. 1).

L'importance des noyaux de convolution s'explique par le fait qu'ils peuvent décrire tous les problèmes linéaires invariants par translation de la variable. Plus précisément, soit f une fonction continue ; alors, l'application uf qui, à tout élément ϕ de D, associe f * ϕ est une application linéaire continue de D dans l'espace E des fonctions indéfiniment dérivables. En outre, elle est invariante par translation sur la variable, c'est-à-dire qu'elle commute à tous les opérateurs de translation Ta définis par Taϕ(x) = ϕ(x − a).

Le problème central est alors de savoir si, inversement, tout [...]

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Graphe de f pour Nx(f)petit

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Graphe de f pour N1(f) petit

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Fonction à oscillation rapide

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Interpolations linéaire et parabolique

Interpolations linéaire et parabolique
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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 30 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/