FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
- 1. Convergences usuelles en analyse
- 2. Représentations par des intégrales
- 3. Représentations par des séries
- 4. Approximation par des suites
- 5. Interpolation et discrétisation
- 6. Opérations sur les représentations et les approximations
- 7. Stabilité et consistance
- 8. Optimisation de l'approximation ; rapidité de convergence
- 9. Bibliographie
Représentations par des intégrales
Forme intégrale des restes
Dans les problèmes de calcul différentiel, la forme intégrale des restes de développements en séries ou de développements asymptotiques est essentielle pour le contrôle de ces restes : formule de Taylor classique, formule interpolatoire de Lagrange-Hermite (cf. infra, chap. 4). À la formule de Taylor se rattache le théorème de division des fonctions différentiables : Soit f une fonction de classe Cp sur un intervalle I de centre a avec f (a) = 0 ; alors f peut s'écrire sous la forme :
Ce théorème se généralise aussitôt à plusieurs variables : Si f (a) = 0, avec a = (a1, ..., an), alors, pour tout x = (x1, ..., xn), on a :
Transformations de Fourier et de Laplace
Dans les problèmes d'analyse harmonique des phénomènes non périodiques (cf. analyse harmonique, chap. 3), on utilise la transformation de Fourier, réelle ou complexe, définie par la relation :
Dans le cas des fonctions définies dans [0, + ∞[, qui interviennent dans l'étude des régimes non permanents, on utilise la transformation de Laplace :
Les transformations de Fourier et de Laplace se généralisent aussi aux espaces Rn et jouent alors un rôle fondamental dans la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires (cf. équations aux dérivées partielles - Théorie linéaire) et plus généralement des équations de convolution (cf. automatique, théorie du signal). Elles jouent aussi un rôle de premier plan en calcul des probabilités, sous la forme des fonctions caractéristiques d'une loi de probabilité (cf. calcul des probabilités, chap. 3), dans la théorie des processus stochastiques du second ordre (cf. processus stochastiques, chap. 5 ; théorie du signal) et en mécanique quantique.
On peut aussi rattacher à l'analyse harmonique la transformation de Mellin, définie par la relation :
Emploi de la dualité
La dualité consiste à représenter une fonction comme une forme linéaire sur un espace E de fonctions convenablement choisi. Ainsi, toute fonction f de puissance p-ième intégrable définit une forme linéaire continue Tf sur l'espace Lq des fonctions de puissance q-ième intégrable, pour 1/p + 1/q = 1, par la formule :
- 1. Convergences usuelles en analyse
- 2. Représentations par des intégrales
- 3. Représentations par des séries
- 4. Approximation par des suites
- 5. Interpolation et discrétisation
- 6. Opérations sur les représentations et les approximations
- 7. Stabilité et consistance
- 8. Optimisation de l'approximation ; rapidité de convergence
- 9. Bibliographie
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )
Médias
Graphe de f pour
Encyclopædia Universalis France
Graphe de f pour
Encyclopædia Universalis France
Fonction à oscillation rapide
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
DARBOUX GASTON (1842-1917)
- Écrit par Jacques MEYER
- 320 mots
Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale...
-
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique
- Écrit par Claude BARDOS, Martin ZERNER
- 5 849 mots
- 7 médias
Du point de vue mathématique, les méthodes d'éléments finis sont une sous-famille des méthodes de Ritz-Galerkin. Pour les problèmes variationnels, ces méthodes consistent à remplacer l'espace V des fonctions admissibles par un de ses sous-espaces VN dit « espace d'approximation ». -
DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
- Écrit par Christian COATMELEC, Universalis, Maurice ROSEAU
- 11 635 mots
..., ..., yn), suite finie de n + 1 nombres réels telle que :où :
ce problème Pn est obtenu en divisant I = [x0, x0 + a]en n parties égales avec un pas égal à h = a/n et en cherchant uneapproximation yi de y(xi) où y est la solution (lorsqu'elle est unique) de P1.
-
GELFOND ALEXANDRE OSSIPOVITCH (1906-1968)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 156 mots
Mathématicien russe, né à Saint-Pétersbourg et mort à Moscou. Le nom de Gelfond reste attaché à l'étude des nombres transcendants ; on lui doit aussi d'importants résultats sur l'interpolation et l'approximation des fonctions de variable complexe. Depuis 1931, Gelfond a enseigné les mathématiques...
- Afficher les 14 références
Voir aussi
- CONVOLUTION PRODUIT DE
- LIMITE PROJECTIVE
- CONVERGENCE, mathématiques
- NORME, mathématiques
- LIMITE INDUCTIVE
- PRODUIT HERMITIEN
- PROJECTEUR, mathématiques
- FRACTION CONTINUÉE
- FOURIER SÉRIE DE
- APPLICATION RÉGULIÈRE
- CONVERGENCE DOMINÉE THÉORÈME DE LA
- CAUCHY FORMULE INTÉGRALE DE
- WEIERSTRASS THÉORÈME D'APPROXIMATION DE
- TAYLOR SÉRIE DE
- RADON MESURE DE
- SÉRIES ENTIÈRES
- FOURIER TRANSFORMATION DE
- HAAR THÉORÈME DE
- NOYAU, analyse mathématique
- APPROXIMATIONS SUCCESSIVES MÉTHODES DES
- ASCOLI THÉORÈME D'
- CAUCHY PROBLÈME DE
- SUITES, mathématiques
- DIRAC FONCTION DE
- CALCUL DIFFÉRENTIEL & INTÉGRAL
- ESCALIER FONCTION EN
- LAPLACE TRANSFORMATION DE
- ESPACE COMPLET
- ESPACE COMPACT
- BANACH-STEINHAUS THÉORÈME DE
- STABILITÉ, analyse numérique
- INTERPOLATION, mathématiques
- DUALITÉ, mathématiques
- RÉPONSE IMPULSIONNELLE
- CONSISTANCE, analyse numérique
- CONVERGENCE UNIFORME
- CONVERGENCE EN MOYENNE
- CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE
- CONVERGENCE SIMPLE
- CONVERGENCE RAPIDITÉ DE
- DISCRÉTISATION, mathématiques
- EULER MÉTHODE DU PAS À PAS D', analyse numérique
- DIFFÉRENCES CALCUL DES
- DINI THÉORÈME DE
- LAGRANGE INTERPOLATION DE
- HERMITE INTERPOLATION DE
- FUBINI THÉORÈME DE
- POISSON ÉQUATION DE
- QUASI ANALYTIQUE
- NOYAU INTÉGRAL
- NEWTON POLYNÔMES DE
- SOBOLEV ESPACE DE
- SOLUTION ÉLÉMENTAIRE
- SÉRIES DE FONCTIONS
- TCHEBYCHEV POLYNÔME DE
- SPLINE FONCTION
- APPROXIMATION
- EXPONENTIELLE FONCTION
- REPRÉSENTATION INTÉGRALE
