RELATIVITÉRelativité générale

La généralisation relativiste

Équations de champ

Einstein a cherché à généraliser l'équation de Poisson, ΔU = — 4πGρ_g, qui relie les dérivées secondes du potentiel newtonien U à la densité de masse gravitationnelle ρ_g. La généralisation relativiste de ρ_g est, de façon essentiellement unique, le tenseur d'énergie-impulsion Τ^μν à cause, d'une part, des équivalences masse gravitationnelle = masse inertielle = énergie/c², d'autre part, de l'absence en relativité restreinte d'une description par un scalaire, ou un vecteur, de la distribution d'énergie. Alors, comme le choix du référentiel étendu }x{ est complètement arbitraire, Einstein s'est posé le problème de trouver un tenseur S^μν, formé à partir de g_μν et de ses dérivées, qui puisse être égalé à Τ^μν, ce qui implique, pour être cohérent avec (5), que S^μν satisfasse identiquement ∇_νS^μν ≡ 0. Dans un espace-temps à quatre dimensions, ce problème a une solution unique, à un facteur près, S^μν = κ^—2G^μν[g], si l'on impose : (a) que S^μν dépend au plus de g_μν et de ses dérivées premières et secondes ; (b) que la géométrie minkowskienne g_μν = η_μν est une solution en absence de matière (T^μν = 0). Cette solution unique conduit aux équations d'Einstein (où le symbole : = signifie « par définition égal à ») :

où R_μν : = R^αμαν et R : = g^μνR_μν sont des contractions du tenseur de courbure :

(g^μν est le tenseur inverse de g_μν ; Τ_μν = g_μρ g_νσTρσ ; on rappelle que le tenseur de courbure est nul si et seulement si l'espace-temps est plat). La constante κ, dont le carré apparaît dans (7), est une constante de couplage dimensionnée qui permet de relier G_μν et Τ_μν (qui ont des dimensions physiques différentes) et qui doit être déterminée expérimentalement. Si l'on relâche certaines des conditions imposées ci-dessus au tenseur S^μν, on peut écrire des équations de champ plus générales que (7). Par exemple, si l'on impose (a) mais pas (b), la solution générale devient S_μν = κ^—2(G_μν + Λg_μν), qui contient une autre constante arbitraire, la constante cosmologique Λ. Et, si l'on admet la présence de dérivée [...]

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