RELATIVITÉRelativité générale

La généralisation relativiste

Équations de champ

Einstein a cherché à généraliser l'équation de Poisson, ΔU = — 4πGρ_g, qui relie les dérivées secondes du potentiel newtonien U à la densité de masse gravitationnelle ρ_g. La généralisation relativiste de ρ_g est, de façon essentiellement unique, le tenseur d'énergie-impulsion Τ^μν à cause, d'une part, des équivalences masse gravitationnelle = masse inertielle = énergie/c², d'autre part, de l'absence en relativité restreinte d'une description par un scalaire, ou un vecteur, de la distribution d'énergie. Alors, comme le choix du référentiel étendu }x{ est complètement arbitraire, Einstein s'est posé le problème de trouver un tenseur S^μν, formé à partir de g_μν et de ses dérivées, qui puisse être égalé à Τ^μν, ce qui implique, pour être cohérent avec (5), que S^μν satisfasse identiquement ∇_νS^μν ≡ 0. Dans un espace-temps à quatre dimensions, ce problème a une solution unique, à un facteur près, S^μν = κ^—2G^μν[g], si l'on impose : (a) que S^μν dépend au plus de g_μν et de ses dérivées premières et secondes ; (b) que la géométrie minkowskienne g_μν = η_μν est une solution en absence de matière (T^μν = 0). Cette solution unique conduit aux équations d'Einstein (où le symbole : = signifie « par définition égal à ») :

où R_μν : = R^αμαν et R : = g^μνR_μν sont des contractions du tenseur de courbure :

(g^μν est le tenseur inverse de g_μν ; Τ_μν = g_μρ g_νσTρσ ; on rappelle que le tenseur de courbure est nul si et seulement si l'espace-temps est plat). La constante κ, dont le carré apparaît dans (7), est une constante de couplage dimensionnée qui permet de relier G_μν et Τ_μν (qui ont des dimensions physiques différentes) et qui doit être déterminée expérimentalement. Si l'on relâche certaines des conditions imposées ci-dessus au tenseur S^μν, on peut écrire des équations de champ plus générales que (7). Par exemple, si l'on impose (a) mais pas (b), la solution générale devient S_μν = κ^—2(G_μν + Λg_μν), qui contient une autre constante arbitraire, la constante cosmologique Λ. Et, si l'on admet la présence de dérivées d'ordre supérieur à 2, il devient possible d'écrire des S_μν contenant beaucoup de constantes arbitraires et faisant intervenir, par exemple, des termes non linéaires en R^αβμν. Il n'existe pas, à l'heure actuelle, d'indications expérimentales suggérant l'emploi de telles généralisations ; cependant, les tentatives de quantification de la gravitation, et de son unification avec les autres forces, prévoient de telles modifications aux très courtes distances.

Il est remarquable que, indépendamment de l'approche « géométrique » que nous venons de rappeler, les équations de champ de la relativité générale puissent être élaborées également à partir des aspects dynamiques du principe d'équivalence, de la manière selon laquelle on formule une théorie de champ dans le cadre de la relativité restreinte. Cette approche « dynamique » fut élaborée, entre autres, par Robert H. Kraichnan, Richard P. Feynman, Steven Weinberg et Stanley Deser. Son point de départ consiste à décrire l'interaction gravitationnelle comme étant transportée par un champ h qui se propage dans l'espace-temps minkowskien. Alors, le fait expérimental de la déflexion de la lumière par le Soleil suffit pour conclure que le champ h, s'il est supposé irréductible, doit être un champ tensoriel de portée infinie (ou champ de spin 2 et de masse nulle). Mais, si, ensuite, par analogie avec les équations de Maxwell :

qui couplent le champ A_μ à la distribution de charge et de courant décrite par J_μ, on essaie de coupler le champ h_μν à la distribution d'énergie et d'impulsion de la matière décrite par le tenseur Τ_μν :on aboutit à une incohérence. En effet, les membres de gauche de (9) et (10) sont identiquement conservés, ce qui entraîne nécessairement la conservation des membres de droite. Dans le cas électromagnétique, on obtient ainsi ∂^μJ_μ = 0, qui est la loi de conservation de l'électricité. Mais, dans le cas gravitationnel, on obtient ∂^νT_μν = 0, c'est-à-dire la conservation locale de l'énergie et de l'impulsion de la matière, ce qui est incompatible avec le fait que, à cause du terme de couplage, h_μνT^μν, dans le lagrangien dont dérive (10), on a nécessairement ∂^νT_μν ≠ 0, puisque la matière échange de l'énergie et de l'impulsion avec le champ h. Cette incohérence est alors résolue en complétant la source Τ_μν par des termes [...]

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 18 pages

Afficher les 3 médias de l'article