RÉALISME, mathématique

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Le réalisme et l'infini

Historiquement, les interrogations sur la réalité des entités mathématiques sont principalement liées à la mathématisation de l'infini.

Mais d'un côté, l'infiniment petit renvoie au formalisme. Il fut introduit par Leibniz (1646-1716) non comme entité réelle mais comme « fiction bien fondée » et auxiliaire éliminable de calculs dans lesquels il n'importe aucune contradiction. Les techniques algébriques de l'analyse classique escamotent la réalité substantielle des infiniment petits, tandis que l'analyse non standard d'Abraham Robinson (1918-1974) affirme leur existence en soi et en acte. Mais la construction par extension ordonnée non archimédienne du corps des nombres réels « réalise » formellement l'infiniment petit sans supposer un substrat ou un pendant ontologique.

De l'autre côté, en revanche, l'infiniment grand en acte s'inscrit dans une vision franchement réaliste. Bernard Bolzano (1781-1848) et Georg Cantor (1845-1918), affirment la réalité ontologique des ensembles infinis en s'appuyant d'abord sur le fait que le mathématicien peut les concevoir sans contradiction. Car il suffit de disposer d'un « concept générique » de l'ensemble, c'est-à-dire d'une ou plusieurs propriétés caractéristiques permettant, pour tout élément, de déterminer s'il appartient ou non à l'ensemble. Énumérer un à un les éléments d'un ensemble infini n'est pas nécessaire pour le « ramasser en un tout et le saisir tout entier en pensée ». Pour Cantor, l'appréhension et la distinction de totalités infinies différentes correspond à une loi de la pensée. Une caractérisation axiomatique est donc recevable, pourvu qu'elle soit non contradictoire. Elle assure la « réalité immanente » de l'infini actuel. Le réalisme mathématique s'appuie fortement sur le critère idéaliste de la vérité : l'absence de contradiction.

Mais cette loi de la pensée est fondée en réalité : la totalité infinie préexiste à sa saisie et à sa définition. Pour Bolzano, les lois de la pensée sont valides même en l'absence de pensée de ces lois, comme les lois physiques s'appliquent même en l'absence d'observateur. Gottlob Frege (1848-1925) soutient de même que « le nombre n'est pas plus un objet de la psychologie ou un produit de nos processus psychiques que ne l'est la mer du Nord ». Pour Cantor, les classes de nombres transfinis expriment des relations qui se trouvent dans le monde extérieur. À la réalité immanente correspond une réalité transcendante : ce qui est infini en acte l'est avant toute caractérisation et reflète un état de la nature. Ce n'est donc pas la non-contradiction d'une entité qui prouve son existence, mais au contraire l'existence de cette entité qui en permet un concept non contradictoire. L'utilisation du critère idéaliste de la vérité est fondée sur la légitimité prioritaire du critère réaliste de vérité-correspondance.

Le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel, qui montre que l'on ne peut démontrer formellement la non-contradiction d'un système supposé non contradictoire avec les seuls moyens définis dans le système, a établi l'impossibilité de s'en tenir au seul critère idéaliste de la vérité. Et la théorie des modèles a banalisé la pratique des démonstrations de non-contradiction d'un ensemble d'axiomes par exhibition d'un modèle vérifiant chacun des axiomes de l'ensemble. À l'appui de leurs convictions, les réalistes peuvent invoquer ces résultats techniques et le développement des considérations sémantiques en logique.

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  • : directrice de recherche émérite, ancienne élève de l'École normale supérieure, docteure ès lettres

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Hourya BENIS-SINACEUR, « RÉALISME, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/realisme-mathematique/