RÉALISME, mathématique

Le réalisme et l'infini

Historiquement, les interrogations sur la réalité des entités mathématiques sont principalement liées à la mathématisation de l'infini.

Mais d'un côté, l'infiniment petit renvoie au formalisme. Il fut introduit par Leibniz (1646-1716) non comme entité réelle mais comme « fiction bien fondée » et auxiliaire éliminable de calculs dans lesquels il n'importe aucune contradiction. Les techniques algébriques de l'analyse classique escamotent la réalité substantielle des infiniment petits, tandis que l'analyse non standard d'Abraham Robinson (1918-1974) affirme leur existence en soi et en acte. Mais la construction par extension ordonnée non archimédienne du corps des nombres réels « réalise » formellement l'infiniment petit sans supposer un substrat ou un pendant ontologique.

De l'autre côté, en revanche, l'infiniment grand en acte s'inscrit dans une vision franchement réaliste. Bernard Bolzano (1781-1848) et Georg Cantor (1845-1918), affirment la réalité ontologique des ensembles infinis en s'appuyant d'abord sur le fait que le mathématicien peut les concevoir sans contradiction. Car il suffit de disposer d'un « concept générique » de l'ensemble, c'est-à-dire d'une ou plusieurs propriétés caractéristiques permettant, pour tout élément, de déterminer s'il appartient ou non à l'ensemble. Énumérer un à un les éléments d'un ensemble infini n'est pas nécessaire pour le « ramasser en un tout et le saisir tout entier en pensée ». Pour Cantor, l'appréhension et la distinction de totalités infinies différentes correspond à une loi de la pensée. Une caractérisation axiomatique est donc recevable, pourvu qu'elle soit non contradictoire. Elle assure la « réalité immanente » de l'infini actuel. Le réalisme mathématique s'appuie fortement sur le critère idéaliste de la vérité : l'absence de contradiction.

Mais cette loi de la pensée est fondée en réalité : la totalité infinie préexiste à sa saisie et à sa définition. Pour Bolzano, les lois de l[...]


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  • : directrice de recherche émérite, ancienne élève de l'École normale supérieure, docteur ès lettres

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Hourya BENIS-SINACEUR, « RÉALISME, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 septembre 2017. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/realisme-mathematique/