QUASI-EMPIRISME, mathématique

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Aspects expérimentaux de l'activité mathématique

Prenant le contre-pied de l'idée que les mathématiciens n'ont pas à se confronter aux faits empiriques, plusieurs philosophes et mathématiciens ont insisté sur les aspects expérimentaux et inductifs de l'activité mathématique et sur certaines similitudes entre le travail du physicien et celui du mathématicien. Ce point de vue sur les mathématiques porte le nom de quasi-empirisme et, s'il n'a été théorisé qu'assez récemment par Imre Lakatos (1922-1974) et Thomas Tymoczko (1943-1996), en réalité la pratique de l'expérimentation mathématique et la défense du parallèle entre mathématiques et physique remontent plus loin dans le temps. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) expliquait par exemple qu'il atteignait la vérité mathématique par l'expérimentation systématique, et c'est d'ailleurs de cette façon qu'il découvrit que le nombre de nombres premiers inférieurs à n est approximativement n/log(n), affirmation qui ne fut prouvée que bien plus tard. Kurt Gödel (1906-1978), cohérent avec ses positions réalistes, remarquait que « si les mathématiques décrivent un monde objectif, comme le fait la physique, il n'y a aucune raison pour que la méthode inductive ne puisse être appliquée en mathématiques comme elle l'est en physique ». L'idée chez Gödel d'une induction analogue à celle des sciences empiriques concerne la découverte de nouveaux axiomes et le choix entre des systèmes d'axiomes concurrents, opérations qui ne peuvent résulter des raisonnements déductifs, seuls à l'œuvre dans les démonstrations mathématiques usuelles.

Dans l'esprit du quasi-empiriste, l'idée de faits et d'expérimentations mathématiques va bien au-delà, surtout depuis que l'ordinateur s'est ajouté à la feuille, au crayon et aux instruments de tracé géométrique qui ont longtemps été les seuls outils des mathématiciens. Créé en 1992, le journal électronique gratuit Experimental Mathematics (http ://www.expmath.org) traite de cette conception des mathématiques où l'ordinateur est devenu essentiel en autorisant l'expérimentation systématique et en fournissant une multitude d'informations qu'un mathématicien ne peut élaborer et maîtriser sans lui. Plusieurs livres récents sont consacrés à cette façon nouvelle de concevoir la recherche mathématique avec un ordinateur comme outil d'expérimentation et de découverte. Toute cette activité illustre les remarques étonnantes que le mathématicien Godfrey Hardy (1877-1947) formula en 1928, à une époque où pourtant l'ordinateur n'était pas encore entré dans le jeu. Hardy expliquait : « J'ai toujours considéré qu'un mathématicien était en premier lieu un observateur, un homme qui, situé assez loin de paysages montagneux, décrit ce qu'il y voit. [...] L'analogie est un peu brutale, mais je suis certain qu'elle n'est pas trompeuse. En la poussant à son extrême, nous arrivons à la conclusion plutôt paradoxale que nous pouvons, en dernière analyse, nous contenter de noter ce que nous observons ; que les démonstrations sont ce que Littlewood et moi appelons du vent, des effets rhétoriques destinés à frapper les esprits, des images sur un tableau lors d'une conférence, des trucs pour stimuler l'imagination des étudiants. La vérité n'est pas exactement ainsi, mais ne s'en écarte pas beaucoup. L'image donne une idée aussi bien de ce qu'est la pédagogie mathématique que de ce qu'est la découverte mathématique. Il n'y a que les personnes étrangères aux sciences et mal informées qui imaginent que les mathématiciens font des découvertes en tournant la manivelle d'une machine miraculeuse. L'image en fin de compte donne une vision sévère des démonstrations telles que les concevait Hilbert, qui ne sont en réalité que certains arguments en faveur de leurs conclusions et dont le but est seulement de convaincre. »

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Jean-Paul DELAHAYE, « QUASI-EMPIRISME, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 07 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/quasi-empirisme-mathematique/