PROLONGEMENT ANALYTIQUE

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 17 547 mots
  •  • 9 médias

Dans le chapitre « Prolongement analytique »  : […] On se propose d'étudier ici la possibilité de prolonger une fonction f analytique dans un ouvert U à un ouvert plus grand. Pour tout point a  ∈ U, la série de Taylor de f en a converge dans le plus grand disque ouvert D contenu dans U (cf. chap. 2) ; mais, comme on l'a déjà signalé ci-dessus, il se peut fort bien que le disque de convergence Δ de cette série « déborde » de U. La somme de la sér […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU, 
  • Henri SKODA
  •  • 13 025 mots

Dans le chapitre « Prolongement analytique »  : […] Soit Ω un ouvert de C n  ; nous supposerons cet ouvert connexe, ce qui implique ici que deux points quelconques de Ω peuvent être joints par une ligne polygonale entièrement située dans Ω. Si deux fonctions f et g holomorphes dans Ω sont égales dans un polydisque contenu dans Ω, alors elles sont égales dans tout Ω. Utilisant ce principe dit « du prolongement analytique », Weierstrass, dans le ca […] Lire la suite

GAMMA FONCTION

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 470 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Extension au champ complexe »  : […] La formule de Weierstrass (5) garde un sens lorsque la variable x prend des valeurs complexes. En effet, on montre par des majorations que le produit infini de terme général (1 +  z / n ) e - z / n  = 1 +  u n ( z ) converge normalement (cela signifie que la série de terme général u n ( z ) converge normalement) dans tout disque | z | ≤ R. Ce produit infini définit donc une fonction de z analyti […] Lire la suite

WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ
  •  • 4 441 mots

Dans le chapitre « Fonctions d'une variable complexe »  : […] Dans l'étude des fonctions d'une variable complexe, contrairement à ses prédécesseurs, Weierstrass fait jouer le principal rôle aux développements tayloriens : c'est ce qu'on appelle le point de vue de Weierstrass, où holomorphie est synonyme d'analyticité, tandis qu'au point de vue de Cauchy l'holomorphie est la différentiabilité pour la structure complexe. Ainsi, c'est à l'aide des développemen […] Lire la suite