MARKOV PROCESSUS DE
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications
Dans le chapitre « L'équation de la chaleur et le type parabolique » : […] Si les équations hyperboliques décrivent l'évolution des phénomènes physiques réversibles, les phénomènes irréversibles relèvent du type parabolique dont le prototype est l'équation de la chaleur, dite aussi de Fourier : Notons tout de suite qu'au contraire de l'équation des ondes cette équation est modifiée par le changement de t en − t . Elle décrit la diffusion de la chaleur, mais aussi bien […] […] Lire la suite
ERGODIQUE THÉORIE
Dans le chapitre « Théorie ergodique, probabilités et potentiels » : […] Les problèmes de convergence qui sont abordés au chapitre 2 concernent l'opérateur T : f ↦ T f = f ∘ θ agissant dans L 1 ( m ) ou L 2 ( m ). Cet opérateur possède les propriétés qui suivent : a ) T est linéaire ; b ) T est positif : f ≥ 0 ⇒ T f ≥ 0 ; c ) T est une contraction, c'est-à-dire : ∥T f ∥ 1 ≤ ∥ f ∥ 1 pour tout f ∈ L 1 ( m ). On peut aussi considérer de façon plus générale des en […] […] Lire la suite
MARKOV ANDREÏ ANDREÏEVITCH (1856-1922)
Andreï Andreïevitch Markov est un mathématicien russe . Il a travaillé dans les domaines de la théorie des nombres, de l'analyse mathématique et surtout de la théorie des probabilités. Son nom reste attaché aux « chaînes de Markov », un des objets mathématiques les plus utilisés dans l’étude des phénomènes aléatoires. Issu de la famille d'un petit fonctionnaire du gouvernement, Andreï Markov est n […] […] Lire la suite
MARTINGALES THÉORIE DES
Le mot « martingale » évoque l'idée d'une stratégie pour gagner aux jeux de hasard. Cette notion tient une place essentielle dans toute la théorie des probabilités et s'est révélée être un langage très riche dans de nombreux domaines des mathématiques ; mais ce rôle n'est apparu que tout récemment. Au xvi e siècle, ce mot (qui proviendrait du provençal martegalo , du nom de la ville de Martigues) […] […] Lire la suite
POTENTIEL THÉORIE DU
Dans le chapitre « Théorie de Hunt et probabilités » : […] Soit Ω un espace localement compact. On appelle noyau N une famille }μ x { de mesures dépendant mesurablement (en un sens à préciser) de x . On note μ x (E) = N( x , E). À toute f borélienne ≥ 0, on associe : également borélienne. On peut considérer N comme une application linéaire positive de l'ensemble des fonctions boréliennes positives dans lui-même. On peut donc composer deux noyaux. Si ν es […] […] Lire la suite
STATISTIQUE THERMODYNAMIQUE
Dans le chapitre « Théorie dynamique des phénomènes dissipatifs » : […] Reprenons donc la question de l'existence d'une définition microscopique de l'entropie sous une forme générale. Nous avons déjà remarqué que ni la norme, ∥ρ( t )∥ 2 , ni la définition de l'entropie S G de Gibbs ne fournissent un modèle microscopique pour l'entropie des systèmes dynamiques hors d'équilibre. Il est facile de vérifier que l'entropie ne peut pas être une fonctionnelle linéaire de l'é […] […] Lire la suite
STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES
Dans le chapitre « Processus de Markov » : […] L'étude statistique de la succession des caractères utilisés pour composer un texte dans une langue particulière a suggéré à Markov un schéma d'enchaînement aléatoire avec liaison (par exemple, en anglais, la fréquence de la lettre h après un t est très supérieure à ce qu'elle est après un d ). Soit X t , soit t 1 , t 2 , ..., t n , t une suite croissante d'instants, soit enfin X 1 , X 2 , ... […] […] Lire la suite