DIRICHLET PROBLÈME DE
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique
Dans le chapitre « Différentes méthodes de résolution approchée » : […] On peut distinguer trois familles : – les développements en séries de fonctions propres ; – les approximations par différences finies ; – les méthodes d'éléments finis. À la première famille appartiennent les résolutions classiques de l'équation des cordes vibrantes et de l'équation de la chaleur par développement en série trigonométrique de la solution. Ce sont des méthodes puissantes qui ont été […] Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications
Dans le chapitre « Formulation variationnelle et calcul des variations » : […] Dans de nombreux problèmes, parmi lesquels les plus fréquents dans les applications, la formulation variationnelle exprime que la solution u est point critique d'une fonctionnelle J sur l'espace V. Ainsi du problème mêlé pour l'équation de Poisson-Laplace (et comme cas particuliers des problèmes de Dirichlet et de Neumann). La fonctionnelle J est dans ce cas définie par la formule : Les équations […] Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
Dans le chapitre « Solution élémentaire et répartition asymptotique de valeurs propres » : […] Soit A un opérateur elliptique du second ordre ; pour étudier le problème de Dirichlet, restreignons-le aux fonctions qui s'annulent sur la frontière d'un ouvert borné Ω ; on obtient ainsi un opérateur auto-adjoint dans L 2 (Ω) et cet opérateur est anticompact, c'est-à-dire que si un nombre λ n'est pas valeur propre de A, alors (A − λI) -1 est un opérateur compact. Supposons-le inversible pour si […] Lire la suite
DIRICHLET PETER GUSTAV LEJEUNE- (1805-1859)
Dans le chapitre « Travaux d'analyse » : […] Dirichlet est beaucoup plus soigneux et rigoureux que Cauchy lui-même, et ses démonstrations de convergence (les premières en date) des développements en série de Fourier ou en série de polynômes de Legendre sont restées des modèles à cet égard. Dans une étude de quelques pages sur le potentiel, il introduit l' intégrale de Dirichlet : pour prouver l'unicité de la distribution de masses ayant un […] Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)
Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23 » : […] Avant d'aborder le sujet de la théorie des fonctions, Hilbert pose la question : Quelles fonctions ? Autrement dit, comment choisir une classe de fonctions ayant d'assez bonnes propriétés, mais aussi suffisamment riche pour contenir les solutions d'équations « naturelles », par exemple celles de la physique. Nous avons vu (treizième problème) que de telles préoccupations étaient constantes chez lu […] Lire la suite
INTÉGRALES ÉQUATIONS
Dans le chapitre « Problème de Dirichlet » : […] Le problème de Dirichlet, dans un ouvert borné Δ de R m , pour une fonction continue f donnée sur la frontière Γ de Δ, consiste à trouver la fonction, unique d'après le principe du maximum, continue sur : harmonique sur Δ, qui coïncide avec f sur Γ. En 1877, C. G. Neumann proposait la méthode suivante pour la solution de ce problème, en supposant m = 2 et Γ pourvue d'une tangente continue ; on d […] Lire la suite
OPTIMISATION & CONTRÔLE
Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles » : […] Soit Ω un ouvert borné de R n . Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x : Ω → R N prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale : où (∂ x /∂ t ) ( t ) représente la matrice des (∂ x j /∂ t i ) ( t ) et f ( t , x , y ) est une fonction donnée, on obtient comme condition nécessaire du premier ordre les équations d' Euler-Lagrange : Beauc […] Lire la suite
POINCARÉ HENRI (1854-1912)
Dans le chapitre « Physique mathématique et physique théorique » : […] Les travaux mathématiques de Poincaré sur la théorie des équations différentielles l'amenèrent naturellement à s'intéresser à la physique mathématique, en raison du lien de ces équations, en particulier des équations aux dérivées partielles du second ordre, dont la plus simple est celle de Laplace, Δ u = 0, avec les lois des phénomènes physiques les plus divers. La distribution électrique, le mag […] Lire la suite
POTENTIEL THÉORIE DU
Dans le chapitre « Norme et principe de Dirichlet » : […] Soit P 0 l'espace des fonctions numériques possédant un gradient fini continu de carré intégrable. Pour toute u ∈ P 0 , on pose : L'application u ↦ ∥ u ∥ est une semi-norme dans P 0 associée au produit scalaire : la condition ∥ u ∥ = 0 équivaut à u constante. Pour obtenir une norme on passe au quotient P par la relation d'équivalence naturelle. La norme correspondante s'appelle la norme d […] Lire la suite
PROBABILITÉS CALCUL DES
Dans le chapitre « Promenade au hasard » : […] Considérons un quadrillage du plan et déterminons un parcours sur ce quadrillage en tirant au sort la direction prise à chaque sommet, chacune des quatre directions ayant une chance égale. On a ainsi une image du mouvement brownien à deux dimensions. Soit P( x , y ) la probabilité pour que le chemin passe par un point du quadrillage de coordonnées ( x , y ). On a donc : si on fait tendre le côt […] Lire la suite
RIEMANN BERNHARD (1826-1866)
Dans le chapitre « Fonctions harmoniques et principe de Dirichlet » : […] La thèse de Riemann innovait aussi par le rôle capital joué par les fonctions harmoniques à partir du chapitre vii , où se trouve la célèbre formule de Riemann : Si la fonction u à valeurs dans R 2 est continûment différentiable sur un compact A, de bord régulier B, on a : où n est la normale intérieure à B. En quelques pages (chap. x et xi ) sont réunis un théorème de prolongement, le principe […] Lire la suite
Méthode de Monte-Carlo
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Solution approchée du problème de Dirichlet par la méthode de Monte-Carlo
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Méthode de Monte-Carlo
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Problème de Dirichlet : solution
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