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Andrew John Wiles

Andrew John Wiles
Crédits : Charles Rex Arbogast/ AP Photo/ SIPA

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Représentation graphique d’une courbe elliptique

Représentation graphique d’une courbe elliptique
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique


La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil

L’équation d’une courbe elliptique peut être mise sous une forme simple : y2 = x3 + ax2 + bx + c, où a, b et c sont des réels.

Prenons l’exemple de y2 = x3 + 5x2 + 6x + 5 dont on peut tracer le graphe dans le plan cartésien (x,y). Si l’on trace une droite sécante à cette courbe, elle coupe cette dernière en deux points, P et Q, et, dans l’exemple choisi, elle la recoupe en un troisième point, R (il y a d’autres cas où la courbe est tangente, verticale). On définit l’addition géométrique de deux points P et Q comme le point R’, symétrique de R par rapport à l’axe des abscisses x. R’ appartient évidemment à la courbe comme on peut le vérifier aisément. Cela ne signifie pas que la somme des vecteurs OP et OQ égale le vecteur OR'. On appelle « addition » cette opération parce qu’elle partage les propriétés fondamentales de l’addition des nombres, en particulier parce qu’elle donne une structure de groupe mathématique à l’ensemble des points de la courbe. Ces courbes elliptiques ont de multiples applications : en cryptologie, en mécanique classique pour certains mouvements de rotation, en théorie des nombres, etc.

Représentation graphique d’une courbe elliptique

Représentation graphique d’une courbe elliptique

Dessin

Cette courbe elliptique est la représentation graphique dans le plan de l’équation y2 = x3 + 5x2 + 6x + 5. Une courbe elliptique vérifie les propriétés de l’« addition » géométrique. Tous les points de la courbe sont la « somme » de deux autres points. Dans cet exemple, P + Q = R... 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant des nombres vérifiant ad – bc = 1. Le Japonais Yukata Taniyama observa une étonnante similarité entre la série de nombres associée à une forme modulaire et celle associée à une courbe elliptique (suite de nombres représentant les solutions possibles). Aidé par son compatriote Gorō Shimura et par le mathématicien français André Weil, il énonça la conjecture de modularité suivante : « Pour chaque fonction elliptique, il existe une forme modulaire correspondante. »


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Écrit par :

  • : docteur en sciences de la Terre, concepteur de la collection La Science au présent à la demande et sous la direction d'Encyclopædia Universalis, rédacteur en chef de 1997 à 2015

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Pour citer l’article

Yves GAUTIER, « PRIX ABEL 2016 », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 07 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-abel-2016/