ORTHOGONAUX POLYNÔMES

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Équation intégrale de Fredholm

Soit E un ensemble muni d'une mesure positive μ et k une fonction de carré intégrable sur E × E. Pour toute fonction f de carré intégrable sur E et pour presque tout élément x de E, la fonction  k (xy) f (y) est intégrable sur E et la fonction g, définie presque partout par la formule :

est de carré intégrable sur E. L'application Uk, dite associée au noyau k, qui à tout élément f de L2(E) associe g, est un endomorphisme de L2(E). Lorsqu'on munit L2(E) de la norme de la convergence en moyenne quadratique, cet endomorphisme est continu et sa norme est inférieure à ∥k2 ; cet endomorphisme est même un endomorphisme compact. La résolution de l'équation intégrale de Fredholm :
h est un élément donné de L2(E), conduit à chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de l'endomorphisme Uk. Lorsque le noyau k est hermitien, c'est-à-dire lorsque, pour tout couple (xy) d'éléments de E, k(yx) = k(xy), alors l'endomorphisme compact Uk est hermitien. La théorie spectrale montre que l'ensemble sp(Uk) des valeurs propres de Uk est une partie bornée dénombrable de R, dont tous les points, sauf peut-être 0, sont isolés. De plus, les sous-espaces propres Eλ sont orthogonaux deux à deux et le sous-espace vectoriel :
est dense dans L2(E). Enfin, E est de dimension finie si λ ≠ 0. Il existe donc une suite (λn) de nombres réels convergeant vers 0 et une base hilbertienne (ϕn) de L2(E) telles que, pour tout entier n, Uk (ϕn) = λn ϕn. Une telle base (ϕn) s'appelle système orthogonal associé au noyau k. Enfin, la suite (λn) est de carré sommable :
et le noyau k peut se développer de la manière suivante :

Pour résoudre l'équation intégrale (1), on décompose le second membre h dans la base hilbertienne précédente :

Pour que :

soit solution de (1), il faut et il suffit que, pour tout entier naturel n,

En particulier, lorsque λ n'appartient pas à sp(Uk) ∪ {0}, l'équation (1) admet une solution et une seule. Lorsque λ ∈ sp(Uk) ∪ {0}, pour que (1) admette une solution, il faut et il suffit que h soit orthogonale au sous-espace vectoriel Eλ. Enfin, lors [...]

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  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, « ORTHOGONAUX POLYNÔMES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes-orthogonaux/