PHONONS

Modes de vibrations acoustiques et optiques

Il est instructif d'analyser d'abord les modes de vibration de chaînes unidimensionnelles d'atomes. Nous allons considérer deux cas : d'une part, une chaîne d'atomes de masse M positionnés en x_n = na ; d'autre part, une chaîne moléculaire avec des molécules M₂ formées de deux atomes identiques positionnés en x_n = na et na + d (avec d < a/2). On admettra, dans ce second cas, qu'il y a à la fois des forces intramoléculaires et intermoléculaires.

Chaque atome vibre autour de sa position d'équilibre dans le puits de potentiel créé par ses voisins : ce potentiel est parabolique pour les mouvements de faible amplitude, c'est-à-dire que les forces interatomiques sont assimilées à des ressorts de constante α₁ (dans le premier cas), et α₁ et α₂ (dans le second cas). On dit que l'on est dans l'« approximation harmonique ». Si on cherche des solutions de la forme u_n(t ) ∼ e^i(ωt−kna) (avec r = na), on peut montrer qu'elles peuvent être représentées par des courbes de dispersion ω(k) qui donnent les fréquences de vibration permises pour un vecteur d'onde k donné. Dans le premier cas, on obtient ainsi une seule courbe de dispersion, qui est linéaire (ω = vk) au voisinage de k = 0 ; cela justifie le nom de « branche acoustique » donné à cette courbe. Remarquons également qu'il existe une fréquence de vibration maximale pour k = ± π/a.

Pour le second cas, on obtient deux branches : une branche acoustique et une branche optique ; ω dépend peu de k pour cette dernière branche et sa valeur est, en première approximation, égale à la fréquence de vibration de la molécule M₂ ; cette dernière valeur est un peu élargie par les couplages intermoléculaires. Signalons qu'une différence de masse entre les deux atomes de la molécule conduit également à un élargissement de la branche optique. La figure montre également les amplitudes de vibration lorsque k est voisin de 0 : on remarque surtout que les vibrations sont en opposition de phase pour les deux atomes d'une même molécule. C'est de là que vient l'appellation « optique » pour cette branche : de telles vibrations sont facilement excitées par le champ électrique de la lumière si les deux masses portent des charges opposées, comme c'est le cas dans les cristaux ioniques.

Dans le cas général à trois dimensions et avec r atomes par maille élémentaire, on peut montrer qu'il y a 3r branches de phonons : 3 branches acoustiques, dont deux sont essentiellement transverses (u₀⊥ k) et une longitudinale (u₀//k), et 3(r − 1) branches optiques. Les valeurs physiquement significatives sont contenues dans la première zone, dite de « Brillouin » (entre ± π/a pour la ), et le nombre de vibrations indépendantes est égal à 3rN, où N est le nombre de mailles élémentaires dans le solide.

L'existence d'un nombre fini, quoique considérable, de modes de vibration est liée aux limites imposées aux mouvements des atomes à la surface du solide.

Détermination des courbes de dispersion ω(k)

Pour déterminer les courbes de dispersion, on fait interagir le cristal avec un rayonnement externe (rayons X, lumière, neutrons). Les neutrons, par exemple, voient le cristal et ses mouvements, par l'intermédiaire de leurs interactions avec le noyau ; au cours de l'interaction, le neutron ou le photon peut absorber (ou émettre) un phonon : on dit que la particule incidente est diffusée inélastiquement. Le vecteur d'onde de la particule incidente change de p en p′ et son énergie de E en E′, de telle manière que :

Remarquons que la quantité de mouvement n'est conservée qu'à un vecteur G du réseau réciproque près : cela résulte de la symétrie de translation du cristal. On peut remonter aux courbes de dispersion en mesurant les angles de diffusion et l'énergie des particules diffusées. Cette méthode est particulièrement puissante dans le cas des neutrons, qui peuvent avoir à la fois des vecteurs d'onde et des énergies adaptés à ceux des phonons, sur toute la gamme des valeurs de ω et k. En revanche, la résolution est moindre dans le cas des rayons X et de la lumière.

Pour la lumière, on parle de « diffusion Raman » quand les phonons sont optiques, et de « diffusion Brillouin » quand ils sont acoustiques.