PERMUTATION, mathématiques

COMBINATOIRE ANALYSE

  • Écrit par 
  • Dominique FOATA
  •  • 5 830 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Dénombrement des injections »  : […] Considérons deux ensembles finis X et Y avec |X| =  n , |Y| =  p et n  ≤  p . Soit J l'ensemble des injections de X dans Y, c'est-à-dire des applications f de X dans Y telles que les relations x , x ′ ∈ X, x  ≠  x ′ entraînent f  ( x ) ≠  f  ( x ′). Il est clair que | J | ne dépend que de p et de n  ; posons | J | = A( p ,  n ). Prenons un ensemble X′ disjoint de X avec |X′| =  p − n . L'ense […] Lire la suite

GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)

  • Écrit par 
  • Jean-Pierre AZRA, 
  • Robert BOURGNE
  •  • 2 069 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »  : […] En sa croissance ainsi aventureuse, la pensée de Galois s'est librement nourrie des travaux de Lagrange, Gauss, Cauchy, Abel et Jacobi. Dans un mémoire célèbre paru en 1770, Lagrange fait le point des recherches dans le domaine des équations algébriques. Il esquisse une théorie de la transformation des équations et met en évidence l'importance de la notion de permutation. Il retrouve par là les f […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 5 062 mots

Dans le chapitre « Groupes de permutations »  : […] Historiquement la théorie des groupes finis commença avec l'étude des groupes symétriques et de leurs sous-groupes, les groupes de permutations. Soit E un ensemble fini formé des n éléments e 1 , ..., e n , n  ≥ 1. Une permutation π des éléments e 1 , ..., e n (ou encore une permutation π sur E) est une application x ↦ π( x ) de E dans E, telle que chaque élément y de E soit l'image y  = π( x ) d […] Lire la suite

MATIÈRE (physique) - Transitions de phase

  • Écrit par 
  • Nino BOCCARA
  •  • 6 909 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Recherche des paramètres d'ordre »  : […] Pour pouvoir définir un paramètre d'ordre, il faut que, lors de la transition, le passage d'une phase à l'autre s'accompagne de la perte de certains éléments de symétrie. Dans le cas déjà cité de la transition paramagnétique-ferromagnétique, l'aimantation joue le rôle de paramètre d'ordre. Pour les alliages, dans la phase désordonnée, certains sites de la structure sont équivalents. Permuter entr […] Lire la suite

TRESSES, mathématiques

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 5 097 mots
  •  • 25 médias

Dans le chapitre « Tresses et permutations »  : […] À chaque tresse géométrique β on peut associer la permutation p β de 1, ...,  n telle que le brin finissant en ( i , 0, 1) dans β commence en ( p β ( i ), 0, 0). Si β et β ' sont isotopes, p β et p β ' coïncident: on obtient donc ainsi une application bien définie du groupe B n dans le groupe symétrique S n (fig. 11). Il est facile de montrer que cette application est un homomorphisme s […] Lire la suite