PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES

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Mouvement pendulaire relatif à un repère galiléen

Étudions d'abord le mouvement d'un seul solide relativement à un repère de référence galiléen (g) et supposons que l'axe du rotoïde soit Ogzg = Oz, faisant avec le plan horizontal du lieu d'expérience un angle β constant (− π/2 < β ≤ π/2). Désignons alors par [O|xs, ys, z] un trièdre, lié au solide (S), dont le plan (zOxs) contient le centre d'inertie G tel que OG = axs + cz, avec > 0 par choix d'orientation de xs. Si m est la masse de (S) et si l'opérateur d'inertie (I) de (S) en O est représenté dans la base (xs, ys, z) par la matrice suivante :

Alors les équations du mouvement de (S) sont, dans le cas très général,

où α = (xgxs) = (ygys) est mesuré sur z, où (XA, YA, ZA|LA, MA, NA) sont les composantes sur (xs, ys, z) des éléments de réduction en O du torseur de liaison exercé par l'articulation rotoïde (NA = 0 si cette articulation est parfaite) et où (X, Y, Z|L, M, N) sont les composantes sur (xs, ys, z) des éléments de réduction en O du torseur extérieur connu agissant sur (S) ; dans le cas de la pesanteur, s = − mgZg où Zg est le vecteur unitaire de la verticale ascendante, M0 = OG ∧ s, et donc :

Ainsi, les équations du mouvement sont, dans les hypothèses indiquées :

Au temps t = 0, α et α′ prennent des valeurs α0 et α′0 que l'on suppose connues ; dans ces conditions, la fonction α(t) se déduit par intégration de la dernière équation ; on calcule ensuite XA, YA, ZA, LA, MA en fonction du temps à l'aide des cinq équations qui précèdent, et le problème est ainsi résolu dans son ensemble.

L'équation différentielle en α s'écrit, en posant ge = g . cos β, où le cas β = π/2 (c'est-à-dire zg vertical) est exclu, et ω2 = mgea/C, où ω est la pulsation et C le moment d'inertie de (S) par rapport à Oz :

On voit que α″0 = − ω2 sin α0 ne peut être nul que si α0 est de sinus nul. Si α′0 = 0, α0 = 0 correspond à un équilibre stable et α0 = π correspond à un équilibre instable. Par intégration, on obtient une équation où les variables se séparent :

ou :

Excluant les cas d'équilibre où α′ ≡ 0, on voit que ε = + 1 ou − 1 (ε étant du signe de α′0 si α′0 n'est pas nul et du signe de α0″ si α′0 = 0). La fonction t(α) est donnée par une intégrale elliptique.

L'expression cos α − cos α0 + α′02/2 ω2 doit être positive ; si α′02 > 2 ω2(1 + cos α0), cette expression ne s'annule pour aucune valeur de α, c'est-à-dire que α′ reste du même signe au cours du temps : α varie de manière monotone (croissante ou décroissante) et le solide (S) est animé d'un mouvement révolutif qui n'est pas concerné par cette étude ; si α′02 < 2ω2(1 + cos α0), on peut au contraire poser :

et α reste compris entre − α1 et + α1 ; la fonction α(t) est alors périodique et de période T telle que :

On voit que la période des oscillations du pendule (S) dépend de l'amplitude α1 ; on peut, par développement en série, obtenir l'expression suivante de la période :

Dans le cas où α1 est petit, α reste petit et l'équation régissant les variations de α(t) devient :

Les variations de α sont alors sinusoïdales, et la période est :

Cette formule donne la période à moins de un centième près pour α1 < π/8. Si l'on veut avoir une meilleure approximation, il faut prendre les deux premiers termes de l'expression de T(α1) :

et cette formule donne T à moins de un dix-millième près pour α1 < π/10. Rappelons que, dans ces relations, C est le moment d'inertie de (S) par rapport à l'axe Oz du rotoïde :
où ρOz est le rayon de giration de (S) par rapport à Oz et où ρGz est le rayon de giration de (S) par rapport à Gz ; dans ces conditions, la période des petites oscillations s'écrit :
avec l = a + (1/a)ρ2Gz = l(a), dite longueur du pendule simple synchrone de (S).

On remarque que, pour deux axes Oz et O′z situés de part et d'autre de Gz à des distances a et a′ liées par aa′ = ρ2Gz, on a :

c'est-à-dire que (S) oscillera avec la même période si l'axe du rotoïde est Oz ou O′z.

Oscillations synchrones

Dessin : Oscillations synchrones

Pendules synchrones. GOH = ?Gz ; $ATT$O′HO = 90° ; I : centre de percussion. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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La relation de conjugaison entre les axes Oz et O′z apparaît encore lorsqu'un pendule subit un choc, c'est-à-dire lorsque α′(t) est discontinue et passe brusquement de la valeur α′1 à la valeur α′2 ; les équations régissant le choc sont :

où (πXA, πYA, πZALA, πMA, πNA) sont les composantes sur (xs, ys, z) des éléments de réduction en O du torseur de percussion exercé par l'articulation rotoïde au cours du choc (πNA = 0 si l'articulation rotoïde est parfaite) ; (πX, πY, πZL, πM, πN) sont les composantes sur (xs, ys, z) des éléments de réduction en O du torseur de percussion connu agissant sur (S).

Si l'on cherche les conditions que doit satisfaire le torseur {π} de percussion connu pour que le torseur de percussion exercé par l'articulation soit nul (ce qui signifie que le torseur de liaison a des éléments de réduction qui restent finis au cours du choc), on trouve :

c'est-à-dire que s{π} = πY . ys est orthogonal au plan contenant G et l'axe du rotoïde. Dans l'hypothèse où le torseur {π} est un torseur vecteur dont l'axe perce le plan (G, Oz) en I, on a :
donc :
mesuré sur z.

On dit alors que I est le centre de percussion.

Oscillations synchrones

Dessin : Oscillations synchrones

Pendules synchrones. GOH = ?Gz ; $ATT$O′HO = 90° ; I : centre de percussion. 

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Oscillations synchrones

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Pendule d'Euler

Pendule d'Euler
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Pendule double

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Pendule de Foucault

Pendule de Foucault
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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, « PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/pendules-et-mouvements-pendulaires/