DIRAC PAUL (1902-1984)

L'équation relativiste de l'électron

L'équation de Dirac relative à l'électron fut décrite pour la première fois dans deux articles publiés au début de l'année 1928. Dirac y exprime la relation de la relativité restreinte d'Einstein, E² = m²c⁴ + p²c², entre l'énergie E, la masse m et l'impulsion p, sous une forme linéaire appropriée à une interprétation en mécanique quantique.

Dans ce but, il introduit un ensemble de quatre matrices hermitiennes α_i (i = x, y, z) et β à quatre lignes et quatre colonnes. Ces matrices, qu'on appelle les matrices de Dirac, ont les propriétés suivantes :

(ce sont les propriétés d'anticommutation), et α²_i = β² = 1, où 1 est la matrice unité 4 × 4. Du point de vue de la mécanique quantique et par le principe de correspondance (cf. physique quantique), les grandeurs E et p_i (i = x, y, z), les trois composantes du vecteur impulsion, deviennent des opérateurs : où x, y, z et t sont les coordonnées d'espace-temps ; ℏ = h/2π, h étant la constante de Planck et c la vitesse de la lumière. L'équation de Dirac, pour un électron libre, prend alors la forme : ce qui exige à la fonction d'onde ψ(x, y, z, t ) d'être un vecteur à quatre composantes. En étudiant des propriétés de cette équation, Dirac montra que le vecteur fonction d'onde ψ décrit un état à un électron de spin 1/2 et de moment magnétique — eℏ/2mc, où e est la charge électrique de l'électron. Il montra également que deux de ces composantes correspondent aux deux orientations possibles du spin de l'électron. L'interprétation des deux autres composantes conduisait à une particule analogue à l'électron mais d'énergie négative. Dirac souligne que, si tous ces états d'énergie négative sont remplis, le principe d'exclusion de Pauli interdit des transitions entre des électrons d'énergie positive et d'énergie négative. Cependant, si tous les états d'énergie négative ne sont pas remplis, les états vides (ou « trous ») se comportent comme une particule d'énergie positive et de charge positive, particule qui devrait être observée. Tout d'abord (1930), Dirac interprète ces particules positives comme des protons, mais plus tard (1931), à la suite d'une critique d'Oppenheimer, il les décrit comme des antiélectrons de même masse que l'électron, mais de charge opposée. Ces particules, aujourd'hui appelées positrons, furent observées par Anderson en 1932.

Il est souvent utile d'écrire l'équation de Dirac sous forme covariante à l'aide de la notation : γ⁰ = β et γⁱ = βα_i. L'ensemble de ces quatre matrices a les propriétés de transformation d'un quadrivecteur d'espace-temps μ = 0, 1, 2, 3) ; de même, les quantités ∂/∂t, — ∂/∂x, — ∂/∂y, — ∂/∂z sont les composantes d'un quadrivecteur ∂_μ ≡ ∂/(∂Xμ) (μ = 0, 1, 2, 3). L'équation de Dirac s'écrit alors sous une forme très compacte :

où une somme sur les composantes de l'indice répété μ est sous-entendue. Une représentation explicite des matrices de Dirac en termes de matrices 2 × 2 de Pauli σ_i (cf. atome et spin) est la suivante : où 1 est ici la matrice unité 2 × 2.

Depuis 1947, un grand nombre de nouvelles particules ont été découvertes expérimentalement et leurs propriétés confirment les idées et les conséquences de l'équation de Dirac. Toutes les particules de Fermi-Dirac avec spin 1/2, par exemple les électrons, les neutrons, les protons, les hypérons, etc., ont des propriétés liées aux principes de symétrie contenus dans l'équation de Dirac ; en particulier, leurs propriétés de spin et l'existence de leurs antiparticules ont toutes été observées.

Le génie de Dirac a permis une meilleure compréhension des principes de symétrie de la nature.

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