OUVERT, mathématiques
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable
Dans le chapitre « Notion de borne supérieure » : […] Nous désignerons par R l'ensemble des nombres réels ; il nous suffira de savoir qu'un nombre réel est un développement décimal illimité précédé d'un signe (qu'on omet s'il s'agit du signe +), par exemple le nombre − 3,141 59. ... ou bien le nombre 1 = 1,000 0.. ... = 0,999 99. ..., et que l'on peut effectuer sur ces nombres des opérations algébriques que tout le monde connaît. On peut aussi co […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe
Dans le chapitre « Fonctions analytiques » : […] Soit U un ouvert du plan complexe et f : U → C une fonction à valeurs complexes. On dit que f est analytique ou holomorphe dans U si elle est développable en série entière au voisinage de tout point de U, c'est-à-dire si, pour tout a ∈ U, il existe une série entière de centre a dont la somme est égale à f ( z ) dans un disque de centre a : Remarquons que les coefficients a n et le nomb […] Lire la suite
MÉTRIQUES ESPACES
Dans le chapitre « Ouverts et fermés » : […] Soit E un espace métrique de distance d. On dit qu'un sous-ensemble U de E est ouvert si pour tout point x ∈ U il existe une boule ouverte de centre x contenue dans U. D'après un principe général de logique, l'ensemble vide, qui n'a pas d'élément, est donc ouvert. Faisons le lien avec la terminologie introduite plus haut en montrant qu' une boule ouverte B( x 0 , r ) est un ensemble ouvert : […] Lire la suite
NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Dans le chapitre « Théorème de l'application ouverte » : […] Soit E et F deux espaces de Banach et u une application linéaire continue surjective de E sur F. L'image par u de tout ouvert de E (cf. topologie -Topologie générale ) est alors un ouvert de F. On déduit immédiatement de ce théorème que si de plus u est injective alors u est un isomorphisme de l'espace de Banach E sur l'espace de Banach F. En particulier, lorsqu'un espace vectoriel E est muni […] Lire la suite
TOPOLOGIE - Topologie générale
Dans le chapitre « Ouverts et fermés » : […] On dit qu'un sous-ensemble U de l'espace topologique E est ouvert s'il est voisinage de chacun de ses points. Les ouverts d'un espace topologique E vérifient les trois propriétés suivantes : (O 1 ) L'ensemble E et l'ensemble vide sont ouverts ; (O 2 ) Toute réunion d'ouverts est un ouvert ; (O 3 ) Toute intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert. La structure topologique d'un espace e […] Lire la suite