ORTHOGONALITÉ

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Espèce de structure d'espace quadratique sur un corps commutatif de caractéristique autre que 2 et espèces de structures plus riches »  : […] Soient M E g  = (E,  l ∗ E ,  l g • E ), M F g  = (F,  l ∗ F ,  l g • F ) et M G g  = (G,  l ∗ G ,  l g • G ) trois modules à gauche sur un même anneau A  = (A,  l ⊤ ,  l ⊥ ). Une application f de E×F dans G est appelée application bilinéaire de E×F dans G (on devrait dire en toute rigueur application A M E g ,  M F g  ;  M G g -bilinéaire ) si [en notant f y l'application de E dans G et f x […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 863 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Le groupe orthogonal »  : […] On suppose donné sur E un produit scalaire  : c'est une application bilinéaire  : de E × E dans R, qui est en outre supposée symétrique , c'est-à-dire que : et positive non dégénérée , c'est-à-dire que : pour x ≠ 0 dans E. La donnée d'une telle application définit dans E une notion d' orthogonalité  : x , y dans E sont dits orthogonaux si l'on a ( x | y ) = 0 (relation symétrique en x et y ). […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 3 760 mots

Dans le chapitre « Les généralisations »  : […] La théorie classique, exposée ci-dessus, a été au fil des années généralisée de plusieurs façons. L'une d'elles consiste à remplacer le corps C des nombres complexes par un autre corps K. Si le corps K est de caractéristique zéro, ou p (l'entier p étant un nombre premier qui ne divise pas l'ordre fini |G| de G), la théorie des représentations linéaires de G sur les espaces vectoriels de dimension […] Lire la suite

HILBERT ESPACE DE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 3 425 mots

Dans le chapitre « Orthogonalité »  : […] On dit que deux vecteurs  x et y d'un espace hermitien E sont orthogonaux si leur produit hermitien est nul : ( x | y ) = 0. Puisque ( y | x ) =  ( x | y ) , cette relation est symétrique. On dit que deux parties A et B de E sont orthogonales si, pour tout élément x de A et pour tout élément y de B, ( x | y ) = 0. L'ensemble, noté A ⊥ , des vecteurs orthogonaux à une partie A de E est un sous-e […] Lire la suite

LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 31 528 mots

Dans le chapitre « Dualité en dimension finie »  : […] Théorème 13 . Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K. Alors l'application linéaire canonique χ de E dans son bidual E** est un isomorphisme. Soit en effet x un élément du noyau de χ. Alors, pour toute forme linéaire y * sur E, Choisissons une base B = ( e j ) 1 ≤ j ≤ n de E. En prenant successivement pour y * les n formes linéaires coordonnées e i * , nous voyons que toutes les com […] Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 19 568 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Le théorème de la progression arithmétique »  : […] La méthode d'Euclide prouvant l'existence d'une infinité de nombres premiers peut, convenablement modifiée, établir par exemple qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4  n  + 3 ou de la forme 6  n  + 5. Le théorème de la progression arithmétique affirme que, quels que soient les entiers k et l premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers de la forme kn  +  l  ; il […] Lire la suite

ORTHOGONAUX POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 2 380 mots

C'est à travers l'étude de certains problèmes d'analyse fonctionnelle (équations intégrales, séries de Fourier, problème de Sturm-Liouville et, plus généralement, problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles) qu'est apparue la notion de système orthogonal de fonctions. Ces problèmes amènent à considérer des espaces hermitiens constitués de fonctions et à déterminer les valeurs […] Lire la suite