OPTIQUE CRISTALLINEPrincipes physiques

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Biréfringence

Expérience fondamentale

En 1669, E. Bartholin mit en évidence le phénomène de double réfraction. Une lame à faces parallèles, taillée dans de la calcite (spath d'Islande), suivant un plan de clivage, et éclairée, sous incidence normale, par un fin pinceau de lumière naturelle, transmet deux rayons : un rayon non réfracté, appelé ordinaire, et un rayon anormalement réfracté, appelé extraordinaire. Alors que la lumière incidente ne présente pas d'axe de symétrie (cf. lumière - Optique), les faisceaux transmis transportent des vibrations rectilignes dont les directions sont perpendiculaires (cf. infra, Polarisation rotatoire).

Lois de la réfraction

Dessin : Lois de la réfraction

Le rayon ordinaire obéit aux lois classiques de la réfraction. Le rayon extraordinaire est anormalement dévié. Les faisceaux transmis sont polarisés rectilignement et à angle droit. 

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Tenseur permittivité

On montre que, dans les milieux présentant de la biréfringence, il existe un système d'axes orthonormés Ox, Oy, Oz, appelés axes principaux, tels que le tenseur permittivité [εr] a une forme diagonale (cf. cristaux-Cristallographie). Dans le cas particulier, très fréquent, des milieux uniaxes (que nous traiterons ici), deux permittivités principales sont égales :

Le champ électromagnétique a une symétrie axiale autour de Oz. Cette direction

privilégiée porte le nom d'axe optique A.

Équations de Maxwell

Considérons une onde harmonique plane Ω, de pulsation ω ; le champ électrique E, en un point M du milieu tel que OM = r, est de la forme :

E0→ étant le vecteur polarisation et k le vecteur d'onde, tel que :

N est le vecteur unitaire, normal à l'onde Ω, v la vitesse de propagation normale à l'onde ou vitesse de phase et n l'indice normal.

Les équations de Maxwell (cf. infra) s'écrivent :

L'élimination de H entre (4) et (5) donne :

Après développement, on aboutit à l'équation fondamentale :

Surfaces des indices

Cherchons les vecteurs d'onde et les vecteurs polarisation associés à une direction de propagation normale donnée. L'axe Oz est obligatoirement parallèle à l'axe optique. Le choix de l'axe Ox est arbitraire, par suite de

la symétrie autour de A ; prenons-le, par exemple, dans le plan de section principale (P.S.P.) contenant l'axe optique et la normale à l'onde. On a :

Plan de section principale

Dessin : Plan de section principale

Le plan de section principale (P.S.P.) contient l'axe optique A⃗ et la direction de propagation normale N⃗. À la direction N⃗ correspondent les vitesses de phase v0 et ve, les champs polarisés rectilignement E⃗0 et E⃗e

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Compte tenu de (1), l'équation (9) donne les trois égalités :

L'équation (12) implique :

Les équations (11) et (13) donnent :

(de plus, on voit que ce champ est tangent à l'ellipse (15)).

Les résultats sont résumés sur la figure : à une direction de propagation normale N correspondent 2 vitesses de phase vO et ve et 2 champs polarisés rectilignement, EO→ perpendiculaire à (P.S.P.)O et Ee→ dans le plan (P.S.P.)e.

Plan de section principale

Dessin : Plan de section principale

Le plan de section principale (P.S.P.) contient l'axe optique A⃗ et la direction de propagation normale N⃗. À la direction N⃗ correspondent les vitesses de phase v0 et ve, les champs polarisés rectilignement E⃗0 et E⃗e

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Lorsque la direction de N varie dans l'espace, l'extrémité du vecteur d'onde k se déplace sur une surface à deux nappes :

– La nappe ordinaire, d'équation :

est une sphère de rayon k0 (comme si le milieu était isotrope).

– La nappe extraordinaire, d'équation

est un ellipsoïde de révolution autour de A, d'axes kO et kE (ces nappes sont bitangentes sur l'axe optique).

Les surfaces des indices se déduisent des lieux des extrémités de k par une homothétie de rapport (1/kO) = (c/ω). On définit la biréfringence par la différence Δn = nE − nO, qui peut être négative ou positive. Les valeurs extrémales de ne sont nE et nO.

Milieux uniaxes

Dessin : Milieux uniaxes

Milieux uniaxes : la surface des indices comprend deux nappes : une sphère de rayon n⃗0 et un ellipsoïde de révolution autour de l'axe optique A⃗ d'axes n0 et nE

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Cristaux : indices ordinaires et extraordinaires

Tableau : Cristaux : indices ordinaires et extraordinaires

Valeurs des indices ordinaires (nO) et extraordinaires (nE) pour quelques cristaux (l'écart nO — nE) est exceptionnel dans les cas du calomel et de la calcite). 

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Double réfraction : vecteur d'ondes, vecteur polarisation, vecteurs de Poynting

Étudions comment une onde plane Ωi, de vecteur d'onde ki, se propageant dans un milieu isotrope d'indice n, se réfracte dans un milieu anisotrope uniaxe d'indices principaux nO et nE. Désignons par krO et kre les vecteurs d'ondes correspondant aux ondes ΩO et ΩE. Si les deux milieux sont séparés par une surface plane Σ dont un point courant est repéré par rΣ, les conditions de continuité sur le dioptre imposent (cf. lumière - réflexion et réfraction) :

Cette relation montre que les vecteurs d'ondes ki et kr sont coplanaires et ont même projection OH sur la surface du dioptre. Comme dans le cas des milieux isotropes, les vecteurs d'ondes s'obtiennent grâce à la construction de Snell appliquée aux nappes ordinaire et extraordinaire.

Construction de Snell

Dessin : Construction de Snell

Construction de Snell : les vecteurs d'ondes incidents (k⃗i) et réfractés (k⃗0 et k⃗e) sont coplanaires et ont même projection sur la surface de séparation S. 

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Les directions des différents éléments du champ électromagnétique donnés par les équations de Maxwell sont représentées sur les figures. Les inductions électriques DO et De sont toujours rectilignes et transverses : DO est dans ΩO et (P.S.P.)O, De est dans Ωe et (P.S.P.)e. Par contre, Ee n'est en général pas transverse, alors que EO est toujours dans le plan d'onde ordinaire.

Le vecteur de Poynting S, défini par S = 1/2 E Λ H, donne la direction de propagation de l'énergie, soit encore la direction des rayons [...]

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Madeleine ROUSSEAU, « OPTIQUE CRISTALLINE - Principes physiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/optique-cristalline-principes-physiques/