OPTIQUE CRISTALLINEPrincipes physiques

Biréfringence

Expérience fondamentale

En 1669, E. Bartholin mit en évidence le phénomène de double réfraction. Une lame à faces parallèles, taillée dans de la calcite (spath d'Islande), suivant un plan de clivage, et éclairée, sous incidence normale, par un fin pinceau de lumière naturelle, transmet deux rayons : un rayon non réfracté, appelé ordinaire, et un rayon anormalement réfracté, appelé extraordinaire. Alors que la lumière incidente ne présente pas d'axe de symétrie (cf. lumière - Optique), les faisceaux transmis transportent des vibrations rectilignes dont les directions sont perpendiculaires (cf. infra, Polarisation rotatoire).

Tenseur permittivité

On montre que, dans les milieux présentant de la biréfringence, il existe un système d'axes orthonormés Ox, Oy, Oz, appelés axes principaux, tels que le tenseur permittivité [ε_r] a une forme diagonale (cf. cristaux-Cristallographie). Dans le cas particulier, très fréquent, des milieux uniaxes (que nous traiterons ici), deux permittivités principales sont égales :

Le champ électromagnétique a une symétrie axiale autour de Oz. Cette direction

privilégiée porte le nom d'axe optique A.

Équations de Maxwell

Considérons une onde harmonique plane Ω, de pulsation ω ; le champ électrique E, en un point M du milieu tel que OM = r, est de la forme :

E₀→ étant le vecteur polarisation et k le vecteur d'onde, tel que :

où N est le vecteur unitaire, normal à l'onde Ω, v la vitesse de propagation normale à l'onde ou vitesse de phase et n l'indice normal.

Les équations de Maxwell (cf. infra) s'écrivent :

L'élimination de H entre (4) et (5) donne :

Après développement, on aboutit à l'équation fondamentale :

Surfaces des indices

Cherchons les vecteurs d'onde et les vecteurs polarisation associés à une direction de propagation normale donnée. L'axe Oz est obligatoirement parallèle à l'axe optique. Le choix de l'axe Ox est arbitraire, par suite de

la symétrie autour de A ; prenons-le, par exemple, dans le plan de section principale (P.S.P.) contenant l'axe optique et la normale à l'onde. On a :

Compte tenu de (1), l'équation (9) donne les trois égalités :

L'équation (12) implique :

Les équations (11) et (13) donnent :

(de plus, on voit que ce champ est tangent à l'ellipse (15)).

Les résultats sont résumés sur la figure : à une direction de propagation normale N correspondent 2 vitesses de phase v_O et v_e et 2 champs polarisés rectilignement, E_O→ perpendiculaire à (P.S.P.)_O et E_e→ dans le plan (P.S.P.)_e.

Lorsque la direction de N varie dans l'espace, l'extrémité du vecteur d'onde k se déplace sur une surface à deux nappes :

– La nappe ordinaire, d'équation :

est une sphère de rayon k₀ (comme si le milieu était isotrope).

– La nappe extraordinaire, d'équation

est un ellipsoïde de révolution autour de A, d'axes k_O et k_E (ces nappes sont bitangentes sur l'axe optique).

Les surfaces des indices se déduisent des lieux des extrémités de k par une homothétie de rapport (1/k_O) = (c/ω). On définit la biréfringence par la différence Δn = n_E − n_O, qui peut être négative ou positive. Les valeurs extrémales de n_e sont n_E et n_O.

Double réfraction : vecteur d'ondes, vecteur polarisation, vecteurs de Poynting

Étudions comment une onde plane Ω_i, de vecteur d'onde k_i, se propageant dans un milieu isotrope d'indice n, se réfracte dans un milieu anisotrope uniaxe d'indices principaux n_O et n_E. Désignons par k_rO et k_re les vecteurs d'ondes correspondant aux ondes Ω_O et Ω_E. Si les deux milieux sont séparés par une surface plane Σ dont un point courant est repéré par r_Σ, les conditions de continuité sur le dioptre imposent (cf. lumière - réflexion et réfraction) :

Cette relation montre que les vecteurs d'ondes k_i et k_r sont coplanaires et ont même projection OH sur la surface du dioptre. Comme dans le cas des milieux isotropes, les vecteurs d'ondes s'obtiennent grâce à la construction de Snell appliquée aux nappes ordinaire et extraordinaire.

Les directions des différents éléments du champ électromagnétique donnés par les équations de Maxwell sont représentées sur les figures. Les inductions électriques D_O et D_e sont toujours rectilignes et transverses : D_O est dans Ω_O et (P.S.P.)_O, D_e est dans Ω_e et (P.S.P.)_e. Par contre, E_e n'est en général pas transverse, alors que E_O est toujours dans le plan d'onde ordinaire.

Le vecteur de Poynting S, défini par S = 1/2 E Λ H, donne la direction de propagation de l'énergie, soit encore la direction des rayons [...]

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