OPÉRATION D'UN GROUPE

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Groupes de transformations »  : […] Si E est un ensemble, nous avons déjà indiqué que les bijections de E sur lui-même forment un groupe Σ (E) pour la composition des applications, le groupe symétrique de E. Si E est muni d'une structure, les bijections qui conservent cette structure forment un sous-groupe de Σ(E), le groupe des automorphismes de E pour la structure considérée. C'est ainsi qu'on a introduit ci-dessus le groupe Aut […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 3 760 mots

Dans le chapitre « Représentation des groupes »  : […] À chaque système mathématique S est associé son groupe de symétries (ou d'automorphismes) Σ(S). On considère ces groupes Σ(S) comme étant concrets. Une représentation  R d'un groupe quelconque G comme groupe de symétries de S est un homomorphisme σ ↦ R σ de G dans le groupe concret Σ(S). Elle donne une réalisation de la loi de composition abstraite de G comme loi de composition concrète dans Σ(S) […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 813 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Actions des groupes de Lie »  : […] Les groupes de Lie ont d'abord été étudiés en tant que groupes de transformations de certains espaces, plutôt que pour eux-mêmes ; et, dans la théorie moderne, les diverses façons dont un groupe de Lie peut être considéré comme groupe de transformations jouent encore un grand rôle. Les actions ou opérations d'un groupe de Lie se définissent comme pour les groupes quelconques (cf. groupes [mathém […] Lire la suite

QUADRATIQUES FORMES

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 6 811 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Transformation des formes quadratiques »  : […] La notion fondamentale à la base de toute la théorie des formes quadratiques est celle de transformée d'une telle forme par une application linéaire : si M et N sont deux A-modules, si g  : M → N est une application linéaire et Q une forme quadratique sur N, x  ↦ Q( g ( x )) est une forme quadratique sur M, dite transformée de Q par g  ; si B est la forme bilinéaire associée à Q, la forme : associ […] Lire la suite