ONDELETTES

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1. La musique des mathématiques

La partition de Fourier

Les ondelettes, ces notes mathématiques, sont à comparer aux sinusoïdes sur lesquelles repose l'analyse de Fourier (ou analyse spectrale) usuelle.Dans un certain sens, une sinusoïde est une note totalement idéalisée, associée à une fréquence « infiniment pure », mais à laquelle on ne saurait affecter de notion temporelle précise (instant de départ, durée) : une sinusoïde n'a ni début ni fin.

L'analyse de Fourier nous enseigne qu'un signal quelconque peut s'écrire comme une somme de telles sinusoï•des, de fréquences et d'amplitudes variables. Un signal est entièrement caractérisé par l'ensemble des amplitudes des sinusoïdes, qui forme ce que l'on appelle sa « transformée de Fourier ». La transformée de Fourier est porteuse de précieuses informations sur le signal analysé ; elle contient en fait toutes les informations disponibles. On sait par exemple que, si elle n'a que de faibles valeurs pour des valeurs élevées de la variable de fréquence, cela signifie que le signal varie lentement. Inversement, si elle prend des valeurs importantes pour les hautes fréquences, le signal contient une quantité non négligeable de hautes fréquences, et donc varie rapidement, au moins dans certaines zones. Et c'est précisément là que nous touchons du doigt l'une des limitations importantes de l'analyse de Fourier usuelle. La transformée de Fourier du signal est incapable de localiser les portions du signal dans lesquelles les variations sont rapides ainsi que celles où elles sont lentes.

La partition de Gabor

Un prototype d'analyse par ondelettes avait été proposé au milieu des années 1940 par le physicien Dennis Gabor, qui en 1971 reçut le prix Nobel de physique pour ses travaux sur l'holographie. Gabor suggérait de rendre locale l'analyse de Fourier, en s'aidant de « fenêtres ». Une fenêtre est une fonction régulière, lentement variable et bien localisée, ce qui signifie qu'elle est nulle en dehors d'une certaine zone, qui constitue son support. En multipliant la fonction étudiée par une fenêtre, on en obtient une version « locale », dont on peut déterminer le contenu fréquentiel par analyse de Fourier classique. On renouvelle alors l'opération en déplaçant la fenêtre d'analyse. L'ensemble de ces transformées de Fourier ainsi localisées forme la transformée de Gabor du signal, elle fournit donc une analyse fréquentielle locale.

Cette opération est toutefois loin d'être innocente. Nous nous heurtons ici à une barrière infranchissable, connue sous le nom d'inégalités de Heisenberg, que l'on peut exprimer ainsi : ce que nous avons gagné en localité, en précision temporelle, est irrémédiablement perdu en précision sur les fréquences. En d'autres termes, en cherchant à préciser les notions temporelles, nous avons rendu floues les notions fréquentielles. Cette incertitude, pour limitante qu'elle soit, fait aussi la substance et la saveur de cette nouvelle problématique qu'est l'analyse temps-fréquence : il revient à l'utilisateur de décider quelle est la part de précision temporelle et de précision fréquentielle dont il a besoin.

L'analyse de Gabor a connu de multiples applications pratiques, notamment dans le domaine du traitement des signaux audiophoniques. On peut en particulier citer l'exemple du vocodeur de phase, qui connut de grands succès dans le domaine du traitement numérique de la parole. Son principe essentiel est que le signal de parole (c'est-à-dire les ondes de pression acoustique émises par l'appareil vocal du locuteur et se propageant jusqu'au tympan de l'auditeur) possède une représentation de Gabor très caractéristique, à partir de laquelle il peut être possible (pour des experts ou pour des programmes informatiques très sophistiqués) d'identifier soit le locuteur, soit la phrase prononcée. Un autre exemple d'application de l'analyse de Gabor est fourni par les problèmes de détection de signaux, en acoustique sous-marine par exemple. De tels signaux prennent souvent la forme de tons assez courts, dont la fréquence peut varier en fonction du temps. Il est bien évident que la loi de variation de la fréquence en fonction du temps est porteuse d'informations, très difficiles à extraire par analyse de Fourier. L'analyse de Gabor fournit souvent une réponse satisfaisante à ce problème.

De même que la transformée de Fourier, la transformée de Gabor d [...]

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  • Stéphane JAFFARD
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Pour citer l’article

Alexandre GROSSMANN, Bruno TORRESANI, « ONDELETTES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 janvier 2023. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/ondelettes/