NOTATION MATHÉMATIQUE

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L'arithmétique élémentaire

Les nombres naturels

En dehors des plus primitives, toutes les langues connaissent un système de mots numéraux pour désigner les premiers nombres (en général jusqu'à 9) et des unités supérieures (en général quelques puissances de 10), avec lesquels on forme des noms pour d'autres nombres par des procédures qui doivent refléter l'addition et la multiplication. Notons cependant qu'on rencontre parfois dans la formation des numéraux des principes soustractifs ; ainsi en latin : duodeviginti, deux de vingt, pour 18.

Ces systèmes de formation de noms numéraux sont limités par le nombre restreint de noms d'unités supérieures. Au contraire, la représentation des nombres naturels sur l'abaque est plus algorithmique et est illimitée ; les nombres y sont rendus au moyen de jetons d'après un principe positionnel : la valeur du jeton est déterminée par la colonne où il se trouve. Un petit nombre est rendu par le nombre correspondant de jetons dans la première colonne ; dans la colonne suivante (vers la gauche), la valeur d'un jeton égale l'unité suivante du système (par exemple 10), etc. Souvent on trouve des unités intermédiaires (5 entre 1 et 10, 50 entre 10 et 100, etc.).

La plupart des systèmes de notation numérale furent un compromis entre le système linguistique et celui de l'abaque. La figure montre le nombre 1971 écrit d'après divers systèmes.

Écritures du nombre 1971

Dessin : Écritures du nombre 1971

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Le système égyptien est strictement additif ; dans l'exemple choisi, on voit, à droite, le symbole de 1 000, suivi par neuf symboles de 100, sept de 10 et une unité.

La notation grecque archaïque connaît les unités intermédiaires de l'abaque ; les symboles mêmes sont des lettres initiales de noms numéraux (le Χ de chilioi pour 1 000, le Δ de déka pour 10, avec le signe multiplicatif Γ pour penta = 5). Le système grec classique est celui des nombres alphabétiques : on indique les nombres 1, 2, .. , 9, 10, 20, ..., 90, 100, ..., 900 par les lettres de l'alphabet ; un accent souscrit indique mille fois la valeur originelle ; de cette manière, α vaut 1 tandis que le |α vaut 1 000. Ce système a été imité par les Hébreux et les Arabes.

Le système des chiffres romains est bien connu ; on remarque dans la figure un exemple du principe soustractif qui joue aussi un rôle dans la formation des numéraux latins. Les symboles numéraux romains ressemblent aux lettres de l'alphabet latin ; en particulier le C et le M semblent provenir des mots centum et mille. En réalité, l'origine de ces symboles n'est pas alphabétique ; c'étaient des symboles purs, inventés probablement par les Étrusques. Par exemple, la forme originelle du symbole de 1 000 est un trait vertical dans un cercle : ›D ; ce symbole fut ensuite déformé en M. La moitié du symbole originel a donné le D de 500. Il faut noter que le principe soustractif, dans la formation des numéraux romains, n'est systématiquement appliqué qu'après le Moyen Âge.

Le premier et le dernier système représentés dans la figure ont la propriété commune d'être vraiment positionnels. Ils se distinguent par la base du système, qui était sexagésimal chez les Babyloniens, tandis que le nôtre est décimal. Dans le système babylonien, de droite à gauche sur la figure, le premier clou représente une unité du premier ordre, les cinq crochets valent chacun 10, les deux clous suivants indiquent deux fois l'unité d'ordre supérieur (60), et les trois derniers crochets valent 10 × 60. Le système sexagésimal apparaît presque dès les premiers textes cunéiformes ; son origine est obscure. Les langues des peuples qui l'ont inventé et développé avaient un système décimal de noms numéraux. Otto Neugebauer a formulé l'hypothèse que la base soixante a été adoptée comme le rapport arrondi de deux mesures ou de deux valeurs monétaires. Avec l'héritage astronomique babylonien la science grecque adopta le système sexagésimal en astronomie ; il subsiste dans la division sexagésimale des mesures de l'angle et du temps. Notons que la division du pied en douze pouces et du sou en douze deniers est d'origine romaine ; elle provient du rapport naturel entre le pied et le pouce.

Écritures du nombre 1971

Dessin : Écritures du nombre 1971

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Écritures du nombre 1971

Dessin : Écritures du nombre 1971

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Dans la plupart des textes babyloniens, il n'existe pas de symbole de zéro ; par conséquent, leur notation n'est pas univoque. Dans les textes babyloniens plus tardifs, on trouve un symbole de zéro intermédiaire (non terminal) ; mais il n'est pas écrit systématiquement. Dans les textes astronomiques grecs, le signe sexagésimal de zéro est ο, première lettre du mot grec όυδ́εν signifiant « rien ». Dans la numérotation alphabétique grecque, cette lettre signifiait 70 ; dans la notation sexagésimale de subdivisions du temps et de l'arc, on employait seulement les symboles alphabétiques jusqu'à 50, ou tout au plus jusqu'à 60 ; le symbole ο pour 70 était en fait disponible pour signifier zéro.

C'est en Inde que l'on trouve les premières traces des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 actuellement usités ; ils datent des premiers siècles de l'ère chrétienne, mais ne sont pas encore utilisés dans un système positionnel. Les nombres métaphoriques de la poésie sanscrite montrent, d'autre part, l'existence d'un certain système positionnel dans lequel, comme dans la langue indienne, on commençait par les unités. Au cours des vie et viie siècles de notre ère, on trouve sur le sol indien des preuves de l'existence du système décimal positionnel. Des éléments nouveaux de ce système, qui peuvent trahir l'influence de l'astronomie grecque, sont l'inversion de la succession des positions (qui alors correspond à celle de la langue grecque plutôt qu'à celle des langues indiennes) et le symbole de zéro (qui est un cercle, comme dans les textes astronomiques grecs).

Le monde chrétien devait la connaissance du système indien aux Arabes. Cependant, il faut noter que les chiffres employés par les Arabes occidentaux, ainsi que les nôtres, ressemblent plus aux chiffres originels indiens que ceux qu'utilisent les Arabes orientaux. Depuis le xe siècle, le système indo-arabe s'est répandu en Europe. La forme des chiffres est restée constante depuis l'invention de l'imprimerie.

La ligne latérale est le système numéral chinois et japonais, parfois purement positionnel, parfois multiplicatif ; l'écriture japonaise de 1971 donnée dans la figure se lit :

Durant l'Antiquité, les nombres écrits jouaient un rôle négligeable ; les calculs se faisaient sur l'abaque. Ce que les Arabes apprenaient des Indes et enseignaient aux Européens n'était pas seulement l'écriture des nombres, mais aussi la méthode de calcul écrit, appelé algorithme par les Européens du Moyen Âge d'après le nom de Muḥammad b. Mūsā al-Khwarīzmī, auteur d'un livre où cette méthode fut exposée. Tant que les calculs arithmétiques se faisaient sur l'abaque, l'existence d'une écriture [...]

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  • : professeur à l'université d'Utrecht, directeur de l'Institut pour le développement de l'enseignement mathématique

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Pour citer l’article

Hans FREUDENTHAL, « NOTATION MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/