TRANSCENDANTS NOMBRES

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L'existence des nombres transcendants

Il est commode d'étendre la définition des nombres algébriques aux nombres complexes, et d'appeler encore nombre transcendant un nombre complexe non algébrique. J. Liouville a établi, en 1844, l'existence des nombres transcendants par une construction fondée sur la propriété, découverte par lui, de « mauvaise approximation » des nombres irrationnels algébriques par les nombres rationnels. En 1873, G. Cantor déduisit l'existence des nombres transcendants de son théorème prouvant que l'ensemble de tous les nombres réels est non dénombrable : il suffit, en effet, de prouver que l'ensemble A de tous les nombres algébriques est dénombrable. Pour cela, associons à chaque polynôme à coefficients entiers :

sa hauteur :

Comme un polynôme n'a qu'un nombre fini de racines, l'ensemble AN des nombres algébriques qui sont racines de polynômes à coefficients entiers de degré ≤ N et de hauteur ≤ N est un ensemble fini ; comme A est réunion des AN, pour N = 1, 2, ... l'ensemble A est dénombrable.

L'ensemble des nombres transcendants n'est donc pas dénombrable ; en termes imagés, on peut dire qu'un nombre pris au hasard (par exemple en se donnant au hasard son développement décimal illimité) n'a « aucune chance » d'être algébrique.


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Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « TRANSCENDANTS NOMBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-transcendants/