NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres p-adiques

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Structure du groupe multiplicatif Q*p

On sait que tout élément non nul de Qp s'écrit d'une seule manière sous la forme pnu avec ∈ Z et ∈ U, groupe des éléments inversibles de Zp ; cela donne immédiatement un isomorphisme Qp* ≃ × U. Il reste à étudier la structure du groupe U ; on définit une filtration décroissante (Un) de U en posant pour tout > 0 :

ainsi Un est le noyau de l'homomorphisme canonique de U dans le groupe des éléments inversibles de Z/pnZ. Il est clair que U/U≃ F*p, groupe cyclique d'ordre p − 1 ; pour ≥ 1, une bijection ↦ 1 + pnx de Zp sur Un applique pZp sur Un+1 et définit un isomorphisme de groupes :
en vertu de l'identité :
ainsi Un/Un+1 est cyclique d'ordre p pour ≥ 1.

De ces considérations on peut déduire qu'il existe un sous-groupe unique V de U isomorphe à Fp* et que U est isomorphe au produit V × U1 ; le sous-groupe V est l'ensemble des entiers p-adiques x tels que xp-1 = 1, et V ∪ {0} est un système de représentants de Fp dans Zp qui est stable par multiplication, c'est un système de représentants multiplicatifs (cf. chap. 1). Pour obtenir ces résultats, on considère U et U1 comme limites projectives des suites de groupes (U/Un) et (U1/Un) respectivement, et on est ramené à prouver l'existence d'un unique sous-groupe Vn de U/Un isomorphe à Fp et tel que :

comme U1/Un est d'ordre pn-1 et que :
est d'ordre p − 1 premier à pn-1, on peut démontrer que U/Un est produit de U1/Un par le sous-groupe des racines (p − 1)-ièmes de 1 en utilisant l'identité de Bezout. Chemin faisant, nous avons démontré que le corps des nombres p-adiques Qp contient les racines (p − 1)-ièmes de 1.

Il faut enfin élucider la structure du groupe U1. Nous allons voir que U1 est isomorphe au groupe additif Zp si p est différent de 2, et à {± 1} × Z2 si p = 2. Pour ≠ 2, on choisit un élément a de U1 qui n'appartient pas à U2 et on considère l'homomorphisme ↦ ax de Z dans U1 ; on  a  a = 1 + pu  avec  ∈ U,  donc ax = 1 + xpu + p2t (t entier p-adique) par le développement du binôme, et, pour x premier à p, cela montre que ax est encore un élément de U1 qui n'est pas dans U2 ; au contraire, pour x = ph, on trouve que ax est un élément de Uh+1 qui n'est pas dans Uh+2, en remarquant que pour tout n la puissance p-ième d'un élément de Un − Un+1 appartient à Un+1 − Un+2. Ces résultats permettent de voir que l'image réciproque de Un+1 dans Z est exactement pnZ ; par conséquent, ↦ ax définit un homomorphisme injectif de Z/pnZ dans U1/Un+1, et cet homomorphisme est même un isomorphisme, car les deux groupes ont le même nombre d'éléments. En passant à la limite projective pour → ∞, on obtient l'isomorphisme cherché Z→∼ U1 ; on notera encore ax l'image d'un entier p-adique x par cet isomorphisme. Dans le cas où p = 2, on observe d'abord que :

et on définit un isomorphisme de Z2 sur U2 à partir de l'homomorphisme ↦ ax de Z dans U2 construit à l'aide d'un élément a de U2 qui n'appartient pas à U3 (ainsi a est congru à 5 mod 8). En résumé, on a trouvé que le groupe multiplicatif Qp* est isomorphe à :
si ≠ 2 et à :
si p = 2.

Nous sommes maintenant en mesure de déterminer quels sont les carrés dans Qp. Pour ≠ 2, on a :

car, 2 étant inversible dans Zp, on a 2Zp = Zp ; on retrouve le fait qu'un élément inversible de Zp est un carré si et seulement si son image dans Fp est un carré. Le groupe quotient Qp/Qp*2 est isomorphe à :
c'est un groupe à 4 éléments qui admet pour système de représentants dans Qp* l'ensemble {1, puup} où u est un entier qui n'est pas résidu quadratique modp.

Lorsque p = 2, on a :

et alors :
est l'ensemble des carrés inversibles de Z2 ;
est un groupe d'ordre 8 qui admet pour système de représentants {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14} dans Q2*. Notons que Qp*2 contient U1 si ≠ 2 et U3 si p = 2 ; donc, c'est un sous-groupe ouvert de Qp* ; le groupe quotient Qp*/Qp*2 peut être considéré comme un espace vectoriel sur le corps à 2 éléments F2, de dimension 2 ou 3 suivant que ≠ 2 ou p = 2. Sur cet espace vectoriel, il y a une forme bilinéaire canonique, qui est symétrique et non dégénérée ; elle est définie par le symbole de Hilbert (ab), a∈ Qp*, qui vaut 1 ou − 1 suivant qu'il existe ou non un élément non nul de (Qp)3 qui annule la forme quadratique Z2 − aX2 − bY2 (cf. divisibilité, théorie des nombres - Nombres algébriques, formes quadratiques). À l'aide du symbole de Hilbert, on définit un invariant ε() associé à toute forme quadratique f à coefficients dans Qp ; si :
dans une base orthogonale, on a :
et [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/