NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres p-adiques

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Généralités

Le noyau de l'homomorphisme canonique Z → Zp est formé des entiers divisibles par toutes les puissances de p ; il est donc réduit à {0}, et l'homomorphisme considéré est injectif et permet d'identifier Z à un sous-anneau de Zp. La surjection canonique Z → Z/pnZ se décompose en l'injection de Z dans Zp suivie de la projection de Zp dans le facteur Z/pnZ ; on voit ainsi que cette dernière projection est surjective ; son noyau est l'ensemble des entiers p-adiques (xm) tels que xn = 0, ce qui donne xm = 0 pour m ≤ n et xm ∈ pnZ/pmZ pour m > n ; autrement dit, ce noyau est l'ensemble des entiers p-adiques multiples de pn. On obtient ainsi l'isomorphisme :

pour tout entier n ≥ 1.

Pour n = 1, cela montre que Zp/pZp est un corps, donc que l'idéal pZp engendré par p est maximal. Si un entier p-adique x = (xm) n'appartient pas à pZp, chacune de ses composantes xm est inversible dans le facteur correspondant Z/pmZ et (xm-1) est inverse de x dans Zp ; ainsi l'idéal maximal pZp est exactement l'ensemble des éléments non inversibles de Zp, et c'est donc le seul idéal maximal : l'anneau Zp est local et son corps résiduel est Zp/pZp ≃ Fp, corps à p éléments. Les puissances successives de l'idéal maximal forment une suite décroissante (pmZp) d'idéaux dont l'intersection est visiblement {0} ; le plus grand de ces idéaux est p0Zp = Zp. La multiplication par pn est injective dans Zp ; il suffit de le vérifier pour n = 1, et px = 0 équivaut à pxm = 0 dans Z/pmZ pour tout m, ce qui donne :

d'où xm-1 = 0. L'anneau Zp s'applique donc bijectivement sur l'idéal pnZp, et l'ensemble U = Zp − pZp de ses éléments inversibles s'applique bijectivement sur :
on voit ainsi que l'ensemble Zp − {0} est réunion disjointe des pnU (n ∈ N). Autrement dit, tout entier p-adique non nul x s'écrit d'une seule manière sous la forme pnu avec n ∈ N et u ∈ U entier p-adique inversible ; l'entier naturel n s'appelle la valuation p-adique de x et se note vp(x). Si x = pmu et y = pnv sont des entiers p-adiques non nuls, avec u ∈ U et v ∈ U, on a :
car uv est encore inversible, donc Zp est un anneau intègre ; on voit en même temps que :
et on peut vérifier par ailleurs l'inégalité :
ces deux propriétés de la valuation p-adique restent vraies même si x ou y est nul lorsque l'on pose vp(0) = + ∞, élément abstrait ajouté à N avec les propriétés habituelles : on a n < + ∞ et n + (+ ∞) = + ∞ pour tout n ∈ N.

Considérons un idéal non nul a de Zp ; si n est la borne inférieure des valuations des éléments de a, on voit sans peine que a est l'idéal engendré par pn. Ainsi les seuls idéaux de Zp sont (0) et les pnZp ; en particulier Zp est un anneau principal et il n'a qu'un seul idéal premier non nul pZp : un tel anneau s'appelle un anneau de valuation discrète. La décomposition en facteurs premiers d'un entier p-adique x est de la forme x = pnu avec n = vp(x) et u ∈ U.

Il y a une autre structure intéressante sur l'anneau Zp. On peut en effet considérer chaque Z/pmZ comme un anneau topologique discret et munir :

de la topologie produit ; on obtient ainsi un anneau topologique compact, comme produit d'ensembles compacts (cf. théorème de Tychonoff, in topologie-Topologie générale). Comme les applications canoniques ϕkm sont continues, Zp est une partie fermée de cet anneau produit ; c'est donc encore un anneau topologique compact pour la topologie induite. Un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie produit est formé par les ensembles :
la trace de Vn sur Zp n'est autre que l'idéal pnZp qui est encore égal à l'ensemble des entiers p-adiques de valuation ≥ n. Pour tout entier p-adique x, on pose :
ce dernier nombre s'appelle valeur absolue p-adique de x, et l'on a :
avec |x|p = 0 si et seulement si x = 0. On voit alors que :
est une distance (ultramétrique) sur Zp (cf. espaces métriques) ; les remarques précédentes montrent que cette distance définit la topologie de Zp. Notons maintenant que les isomorphismes :
montrent que Z est partout dense dans Zp. Comme Zp est complet (puisque compact), il est isomorphe au complété de Z pour la distance p-adique |y − x|p.

Soit S un système de représentants de Fp dans Zp, c'est-à-dire un ensemble d'entiers p-adiques possédant exactement un élément dans chaque classe mod pZp. Par exemple, on peut prendre :

mais nous verrons plus loin un autre système de représentants plus intéressant. Pour tout entier p-adique x, il existe un élément s0 de S et un seul congru à x mod pZp ; on a x − s0 = px1 avec x∈ Zp. De même, il existe un couple u [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/