NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres algébriques

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Équations diophantiennes

Les problèmes de théorie des nombres conduisant à résoudre des équations de degré ≥ 2 ont progressivement montré la nécessité d'étudier les propriétés arithmétiques des nombres algébriques et de bâtir ainsi une extension de l'arithmétique élémentaire. Le premier de ces problèmes est probablement celui qu'Euler a improprement attribué à Pell : il s'agit de résoudre en nombre entiers x et y l'équation x2 − Dy2 = ± 1, où D est un entier positif donné, sans facteur carré. Euler remarqua très tôt que cette équation peut encore s'écrire :

et que, par suite, si (x, y) en est une solution, on en tire une infinité d'autres (u, v) en calculant (x + yD)n = u + vD pour tout ∈ N (cf. équations diophantiennes). L'équation x3 + y3 = z3 a fourni à Euler une autre occasion d'exploitation arithmétique de nombres irrationnels (imaginaires cette fois) ; pour établir que cette équation n'a pas de solution non triviale en nombres entiers (c'est un cas particulier du « dernier théorème de Fermat »), Euler (1770) se fonde sur le fait, admis sans démonstration, que, si p et q sont des entiers premiers entre eux tels que (p + q− 3)(p − q− 3) = p2 + 3q2 soit un cube, alors chacun des deux facteurs imaginaires p ± q− 3 est le cube d'un nombre complexe de la même forme.

Périodes

Un autre type de nombres algébriques apparaît dans la dernière section des Disquisitiones arithmeticae de Gauss (1801 ; cf. c. f. gauss), où se trouve élaborée la théorie de l'équation de la division du cercle en n parties égales, avec n premier impair. Si r est l'une des racines imaginaires de cette équation, les autres sont r2, r3, ..., rn-1, et Gauss introduit certaines sommes partielles de ces racines, qu'il appelle périodes, et qui sont solutions d'équations de degrés inférieurs : si f est un facteur de n − 1 et si λ est un entier quelconque, la période ( f, λ) de longueur f est, par définition, la somme :

h est un entier premier à n tel que h≡ 1 (mod n) mais que ha ≡/ 1 (modn) si 1 ≤ ≤ f − 1 ; la période ne dépend pas du choix de h vérifiant ces propriétés, et on obtient un tel h en [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 mai 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/