NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres algébriques

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Équations diophantiennes

Les problèmes de théorie des nombres conduisant à résoudre des équations de degré ≥ 2 ont progressivement montré la nécessité d'étudier les propriétés arithmétiques des nombres algébriques et de bâtir ainsi une extension de l'arithmétique élémentaire. Le premier de ces problèmes est probablement celui qu'Euler a improprement attribué à Pell : il s'agit de résoudre en nombre entiers x et y l'équation x2 − Dy2 = ± 1, où D est un entier positif donné, sans facteur carré. Euler remarqua très tôt que cette équation peut encore s'écrire :

et que, par suite, si (x, y) en est une solution, on en tire une infinité d'autres (u, v) en calculant (x + yD)n = u + vD pour tout ∈ N (cf. équations diophantiennes). L'équation x3 + y3 = z3 a fourni à Euler une autre occasion d'exploitation arithmétique de nombres irrationnels (imaginaires cette fois) ; pour établir que cette équation n'a pas de solution non triviale en nombres entiers (c'est un cas particulier du « dernier théorème de Fermat »), Euler (1770) se fonde sur le fait, admis sans démonstration, que, si p et q sont des entiers premiers entre eux tels que (p + q− 3)(p − q− 3) = p2 + 3q2 soit un cube, alors chacun des deux facteurs imaginaires p ± q− 3 est le cube d'un nombre complexe de la même forme.

Périodes

Un autre type de nombres algébriques apparaît dans la dernière section des Disquisitiones arithmeticae de Gauss (1801 ; cf. c. f. gauss), où se trouve élaborée la théorie de l'équation de la division du cercle en n parties égales, avec n premier impair. Si r est l'une des racines imaginaires de cette équation, les autres sont r2, r3, ..., rn-1, et Gauss introduit certaines sommes partielles de ces racines, qu'il appelle périodes, et qui sont solutions d'équations de degrés inférieurs : si f est un facteur de n − 1 et si λ est un entier quelconque, la période ( f, λ) de longueur f est, par définition, la somme :

h est un entier premier à n tel que h≡ 1 (mod n) mais que ha ≡/ 1 (modn) si 1 ≤ ≤ f − 1 ; la période ne dépend pas du choix de h vérifiant ces propriétés, et on obtient un tel h en posant h = ge, où g est une racine primitive modulo n et e = (n − 1)/f. Il y a e périodes distinctes de longueur f, correspondant à λ = 1, g, g2, ..., ge-1 (sans compter (f, 0) = ), qui sont les racines d'une équation de degré e à coefficients entiers ; ensuite, les f racines rλha qui constituent la période (f, λ) sont les racines d'une équation de degré f dont les coefficients sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers de 1 et des e périodes de longueur f. Gauss établit que le produit de deux périodes de longueur f est une combinaison linéaire du type précédent : ces combinaisons forment donc un sous-anneau du corps C des nombres complexes ; de plus, si p est une période de longueur f, les autres s'expriment par des polynômes en p (de degré au plus e − 1) à coefficients rationnels. Lorsque e = 2, les deux périodes de longueur m = (n − 1)/2 sont (m, 1) et (m, g), et elles sont construites avec h = g2 ; la première est la somme des ra avec a résidu quadratique modulo n et la seconde la somme des rb avec b non résidu. Gauss montre que l'équation dont les racines sont ces deux périodes est x2 + x ± ν = 0 si n = 4 ν ± 1 ; le discriminant de cette équation est ± n, dont la racine carrée est donc la valeur de la différence des deux périodes :
où (λ/n) est le symbole de Le Gendre. Les expressions du type :
(puisque  rλ = 0) et leurs généralisations λmodnsont appelées sommes de Gauss ; elles jouent un grand rôle en théorie des nombres, et Gauss lui-même en tira deux démonstrations de la loi de réciprocité quadratique (la quatrième, 1808, et la sixième, 1818). Si l'on précise la racine r choisie, par exemple r = e2iπ/n, il convient de préciser aussi celle des deux racines carrées de ± n qui donne la valeur de la somme de Gauss, et ce problème arrêta Gauss pendant longtemps. En notant z = 0 et z′ = 0 les deux équations de degré m dont les racines sont respectivement les ra (a résidu quadratique modulo n) et les rb (b non résidu), on a :
et Gauss en déduit que :
où Y = 2 xm + xm-1 + ... et Z = xm-1 + ... sont des polynômes en x à coefficients entiers ; si p est un nombre premier ≡ 1 (mod n), et si x≡ 1 (mod p) (mais x≡/ 1 (mod p) si 1 ≤ ≤ n − 1), on a donc Y≡ ± nZ2 (mod p) et (±n/p) = 1, ce qui donne un cas particulier de la loi de réciprocité.

Lorsque e = 3, les périodes p, p′ et p″ de longueur m = (n − 1)/3 sont (m, 1), (m, g) et (m, g2), et ce sont les racines d'une équation du troisième degré x3 + x2 − mx − (a2 − bc) = 0, où a, b et c sont des entiers tels que pp′ = bp + cp′ + ap″ ; ces entiers a, b, c sont aussi les nombres de solutions (x, y) modulo n pour les congruences x3 + 1 ≡ λy3 (mod n), avec λ = 1, g ou g2, et Gauss montre que 4n = (6a − 3 b − 3 c − 2)2 + 27 (b − c)2. Ainsi, le quadruple d'un nombre premier n de la forme 3 m + 1 est représenté par la forme quadratique x+ 27 y2 (cf. formes quadratiques) ; comme il est facile de voir qu'une telle représentation est unique, elle donne, inversement, un moyen de déterminer les entiers a, b et c.

Lien avec les fonctions elliptiques

La théorie des fonctions elliptiques (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire) est une autre voie par laquelle les nombres algébriques sont intervenus en mathématiques : si p est une fonction elliptique de Weierstrass, on sait en général exprimer p(nu) par une fonction rationnelle de p(u) et de p′(u) lorsque n est entier ; mais, pour certains modules, dits « singuliers », on a encore une telle expression pour n = ± ib, avec a et b entiers convenables (≥ 0). Lorsque cela se produit, on dit que la fonction elliptique admet de la multiplication complexe ; Gauss a rencontré cette situation dès la fin du xviiie siècle, à propos de la fonction elliptique x = sl u (« sinus lemniscatique ») qui inverse l'intégrale :

(son module J vaut 1 ; cf. c. f. gauss) ; comme sl (iu) est égal à sl u, la fonction sl admet de la multiplication complexe par tous les entiers de Gauss m + ni, où m, ∈ Z. Abel (1828) a utilisé cette multiplication complexe pour établir que l'équation algébrique dont les racines sont les nombres sl(ω/p), où p est un nombre premier de la forme 4 k + 1 et ω est l'une quelconque des périodes de la fonction sl, est résoluble par radicaux ; dans ce cas, p = m2 + n2 est le produit de deux entiers de Gauss ± in (cf. théorie des nombres - Théorie analytique des nombres), et Abel montre que la méthode de Gauss pour la division du cercle s'applique à l'équation dont les racines sont :

Réciprocité biquadratique

Les mêmes entiers de Gauss donnent le cadre où l'on peut étudier la loi de réciprocité biquadratique, qui relie la résolubilité des deux congruences x p (modq) et x≡ q (modp), où p et q sont des nombres premiers. Dans un article de 1832, Gauss développe l'arithmétique de ces entiers généralisés, qui repose sur un algorithme de division analog [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 07 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/