NOMBRES PREMIERS

NOMBRES PREMIERS JUMEAUX

  • Écrit par 
  • Pierre COLMEZ
  •  • 790 mots

On dit que des nombres premiers p et q sont jumeaux si leur différence est égale à 2. Par exemple, 3 et 5 sont jumeaux ; 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31 le sont aussi. Si on continue, on s'aperçoit que les couples de nombres premiers jumeaux ont tendance à se raréfier, mais qu'on en trouve toujours, ce qui conduit à penser qu'il en existe une infinité. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-premiers-jumeaux/#i_23767

ALGORITHMIQUE

  • Écrit par 
  • Philippe COLLARD, 
  • Philippe FLAJOLET
  •  • 6 831 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Tests de primalité et de factorisation »  : […] Un entier m composite (non premier) possède nécessairement un facteur plus petit que m . Il en résulte que l'essai successif des divisions exactes de m par les nombres 2, 3, 4..., [ m ] constitue à la fois un algorithme de factorisation – qui détermine les diviseurs de m si m est composite – et un test de primalité – si aucun diviseur n'a été obtenu. Contrairement aux algorithmes précédemment […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algorithmique/#i_23767

ANNEAUX COMMUTATIFS

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 490 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Divisibilité »  : […] La présence dans un anneau de diviseurs de zéro, c'est-à-dire d'éléments a et b , tous deux non nuls, dont le produit est nul, rend illusoire toute théorie satisfaisante de la divisibilité. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zéro sont appelés des anneaux intègres ou anneaux d'intégrité . Nous allons, dans ce qui suit, préciser quelques propriétés de la divisibilité dans un tel anneau d'in […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-commutatifs/#i_23767

COMPLEXITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 627 mots

Dans le chapitre « Les classes P et NP »  : […] Ce domaine a ouvert la voie dans la décennie 1970 à une analyse d'un niveau plus fin, appelée théorie des classes de complexité, où l'on se pose des questions du type suivant : peut-on décomposer en facteurs premiers un nombre de n chiffres en utilisant un temps de calcul t majoré par un polynôme en n (on parle de temps polynomial) ? Les problèmes que l'on peut traiter en temps polynomial c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/complexite-mathematique/#i_23767

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, 
  • Marcel DAVID, 
  • Universalis
  •  • 6 374 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Le grand théorème de Fermat »  : […] Pierre de Fermat (1601-1665) fut un mathématicien d'une érudition extraordinaire (géométrie analytique, fondements du calcul infinitésimal, lois de l'optique, fondements du calcul des probabilités et surtout théorie des nombres). Malheureusement, presque tous ses théorèmes étaient donnés sans démonstration, car il était alors d'usage de proposer ses découvertes à la sagacité de ses interlocuteurs […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/#i_23767

DIVISIBILITÉ

  • Écrit par 
  • Marcel DAVID
  •  • 3 894 mots

Dans le chapitre « Propriétés élémentaires »  : […] L'anneau Z des entiers relatifs possède la propriété suivante de division euclidienne  : si a et b sont deux entiers relatifs, b  ≠ 0, il existe des entiers q et r déterminés de manière unique par les conditions : q s'appelle le quotient de la division de a par b et b est le reste de cette division. Si le reste est nul, cela signifie qu'il existe un entier q tel que a  =  bq  ; on dit alo […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/divisibilite/#i_23767

EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 881 mots

Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production inouïe. De 1833 à 1837, Eisenstein résidait à l'académie Cauer à Berlin-Char […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ferdinand-gotthold-max-eisenstein/#i_23767

ERDÖS PAUL (1913-1996)

  • Écrit par 
  • Jean-Louis NICOLAS
  •  • 966 mots

Mathématicien brillant et hors du commun, lauréat du prix Wolf en 1983. Né le 26 mars 1913 à Budapest et décédé le 20 septembre 1996 à Varsovie, Paul Erdös fut un enfant prodige et, à l'âge de quatre ans, il savait déjà compter avec des nombres de trois chiffres et avait redécouvert les nombres négatifs. Il fut élevé par ses parents, professeurs de mathématiques, comme un fils unique, ses deux sœu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/paul-erdos/#i_23767

EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL, 
  • Jean ITARD
  •  • 2 813 mots

Dans le chapitre « Mathématiques »  : […] Euler est l'auteur de trois grands traités didactiques sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l' Introductio in analysin infinitorum (1748), les Institutiones calculi differentialis (1755) et les Institutiones calculi integralis (3 vol., 1768-1770). Le premier de ces traités opè […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leonhard-euler/#i_23767

GÉNÉRATEUR, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 024 mots

Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène , ou encore posséder un générateur a , si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à a . Par définition d'un produit portant sur zéro facteur, cet ensemble doit contenir un élément neutre e pour ∗ (c' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/generateur-mathematique/#i_23767

GOLDBACH TERNAIRE (CONJECTURE DE)

  • Écrit par 
  • Pierre COLMEZ
  •  • 949 mots

La conjecture de Goldbach est issue d'un échange de lettres entre Goldbach et Euler datant de 1742. Elle affirme que tout nombre pair ≥ 4 est somme de deux nombres premiers. Elle admet comme conséquence le fait que tout nombre impair ≥ 7 est somme de trois nombres premiers, énoncé qui est connu sous le nom de conjecture de Goldbach ternaire. La conjecture de Goldbach résiste encore à tous les eff […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/goldbach-ternaire-conjecture-de/#i_23767

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Problème 7 : irrationalité et transcendance de certains nombres »  : […] Hilbert aborde, avec le septième problème, les travaux de la théorie des nombres, surnommée par Carl Friedrich Gauss « la reine des mathématiques ». L'existence de nombres transcendants avait été prouvée par Liouville ; puis Hermite et Lindemann avaient respectivement montré la transcendance de e et de π. Hilbert propose de montrer la transcendance de a b , pour a algébrique et b irrationnel. E […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_23767

INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 990 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Preuves probabilistes de primalité »  : […] La cryptographie a fréquemment besoin de grands nombres premiers (de cent chiffres décimaux et plus) et aucune méthode sûre ne permet aujourd'hui d'en produire dans un délai raisonnable. On utilise donc ce qu'on appelle des algorithmes probabilistes. Le test probabiliste de primalité de Fermat en fournit un exemple élémentaire : choisir un nombre entier a au hasard entre 2 et n –1 ; si a n —1 e […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/informatique-et-verite-mathematique/#i_23767

ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

  • Écrit par 
  • Georges C. ANAWATI, 
  • Roshdi RASHED
  • , Universalis
  •  • 22 470 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La théorie classique des nombres »  : […] La contribution des mathématiciens de l'époque à la théorie des nombres ne se borna pas à l'analyse diophantienne entière. Deux autres courants de recherche, partant de deux points distincts, ont abouti à l'extension et au renouvellement de la théorie hellénistique des nombres. Le premier courant avait pour source, mais aussi pour modèle, les trois livres arithmétiques des Éléments d' Euclide, tan […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/islam-la-civilisation-islamique-les-mathematiques-et-les-autres-sciences/#i_23767

MERSENNE NOMBRES DE

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 537 mots

Un nombre de Mersenne est un nombre entier naturel de la forme 2 n – 1, où n est un nombre entier naturel. Ces nombres ont été nommés ainsi en l'honneur du Français Marin Mersenne (1588-1648), qui en avait entrepris l'étude. Pour qu'un tel nombre, généralement noté M n , soit premier (c'est-à-dire n'ait pas d'autre diviseur que 1 et lui-même), il faut que n (appelé l' indice de M n ) soit un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-de-mersenne/#i_23767

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 14 064 mots

Dans le chapitre « Entiers cyclotomiques »  : […] Considérons, avec Kummer, un nombre premier impair λ et une racine λ-ième imaginaire α de 1 ; ainsi : L'équation de degré λ − 1 précédente est irréductible sur le corps Q des nombres rationnels, donc les nombres 1, α, α 2 , ..., α λ-2 sont linéairement indépendants sur Q  ; les entiers cyclotomiques correspondant à λ sont les nombres de la forme : où a 0 , a 1 , ..., a λ-2  ∈  Z , c'est-à-dire l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_23767

TAO TERENCE CHI-SHEN (1975- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 314 mots

Mathématicien d'origine chinoise, Terence Chi-Shen Tao (né en Australie en 1975, médaillé Fields en 2006) démontre en 2012 que tout entier impair peut se décomposer en cinq nombres premiers. Comme il en a pris l'habitude depuis plusieurs années, le jeune professeur de l'université de Californie à Los Angeles présente et commente son travail dans son blog (http ://terrytao.wordpress.com/) : « le r […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/tao/#i_23767