NOMBRE IDÉAL

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 218 mots

Dans le chapitre « La théorie des idéaux »  : […] À l'origine de la théorie des anneaux, on trouve essentiellement des recherches de théorie des nombres. En 1831, Gauss avait été amené, à propos de ses célèbres recherches sur les résidus biquadratiques, à étudier des propriétés de divisibilité dans l'anneau Z [ i ] des « entiers de Gauss » de la forme a  +  bi , a et b entiers relatifs et i 2  = − 1 ; il avait constaté une parfaite analogie avec […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_25202

DEDEKIND RICHARD (1831-1916)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 2 097 mots

Le mathématicien allemand Richard Dedekind est un des fondateurs de l'algèbre moderne. Sa théorie des idéaux, systématisation et rationalisation des «   nombres idéaux » de Kummer, est en effet devenue l'outil essentiel pour étudier la divisibilité dans les anneaux les plus généraux et a donné une impulsion considérable à l'arithmétique en élargissant son champ d'action. Dedekind est aussi le cr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/richard-dedekind/#i_25202

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, 
  • Marcel DAVID, 
  • Universalis
  •  • 6 374 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Le grand théorème de Fermat »  : […] Pierre de Fermat (1601-1665) fut un mathématicien d'une érudition extraordinaire (géométrie analytique, fondements du calcul infinitésimal, lois de l'optique, fondements du calcul des probabilités et surtout théorie des nombres). Malheureusement, presque tous ses théorèmes étaient donnés sans démonstration, car il était alors d'usage de proposer ses découvertes à la sagacité de ses interlocuteurs […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/#i_25202

KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893)

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  •  • 1 200 mots

Dans le chapitre « Les « nombres idéaux » »  : […] C'est de 1837 qu'est daté le premier mémoire de Kummer sur le grand théorème de Fermat, concernant l'impossibilité de l'équation x m  +  y m  =  z m dans l'anneau Z des entiers dès que m est supérieur à 2. Kummer fut ainsi amené, comme plusieurs autres chercheurs contemporains, à s'intéresser aux anneaux cyclotomiques, ou, suivant son langage, « aux nombres complexes formés par des nombres enti […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ernst-eduard-kummer/#i_25202

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 14 064 mots

Dans le chapitre « Entiers cyclotomiques »  : […] Considérons, avec Kummer, un nombre premier impair λ et une racine λ-ième imaginaire α de 1 ; ainsi : L'équation de degré λ − 1 précédente est irréductible sur le corps Q des nombres rationnels, donc les nombres 1, α, α 2 , ..., α λ-2 sont linéairement indépendants sur Q  ; les entiers cyclotomiques correspondant à λ sont les nombres de la forme : où a 0 , a 1 , ..., a λ-2  ∈  Z , c'est-à-dire l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_25202