NŒUDS (THÉORIE DES)

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Nœuds, chaînes, tresses et polynômes

Intuitivement et mathématiquement, deux nœuds sont dits équivalents si l'on peut déformer l'un pour lui donner la forme de l'autre. Si l'on s'en tient au sens commun, tous les nœuds sont équivalents : on peut toujours défaire un nœud quelconque et le transformer ainsi en un segment, que l'on peut alors renouer pour obtenir n'importe quel autre nœud ! Il en va différemment si l'on recolle au préalable les deux extrémités de la corde.

Par exemple, il semble — mais on sait le démontrer ! — qu'on ne puisse pas passer par déformation continue (c'est-à-dire sans couper la corde) du nœud a au nœud d, alors que c'est possible de a à b ou de a à c. Pour le mathématicien, un nœud est donc une courbe dans l'espace, fermée et sans point double, éventuellement orientée, et une chaîne est un ensemble fini de telles courbes.

Déformation des nœuds

Dessin : Déformation des nœuds

Les trois premiers nœuds sont équivalents. Le passage de a à b se fait dans le plan par déformation des brins; celui de a à c requiert l'espace; le nœud d ne leur est pas équivalent. 

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Classer les nœuds revient alors à chercher des quantités, invariantes par déformation, permettant de les distinguer les uns des autres. Ces quantités peuvent être des nombres : par exemple l'ordre d'un nœud, défini par P. G. Tait au xixe siècle, est le plus petit nombre de croisements apparaissant sur les diagrammes de ce nœud ; ce qui a conduit, empiriquement, cet auteur à une classification des nœuds jusqu'à l'ordre 7.

Nœud trivial

Dessin : Nœud trivial

Le nœud trivial. Ces diagrammes possèdent 0, 1 ou 2 croisements, mais ils correspondent en fait au même et unique nœud: le nœud trivial, d'ordre 0; il n'existe donc pas de nœud d'ordre 1 ou 2. 

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Premiers nœuds de la classification de Tait

Dessin : Premiers nœuds de la classification de Tait

Les premiers nœuds de la classification de Tait. 

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Cette première exploration lui permit notamment de définir les notions de nœuds premiers et de produit de deux nœuds : le produit de deux nœuds s'obtient en coupant chaque nœud et en recollant les extrémités libres.

Produit de deux nœuds

Dessin : Produit de deux nœuds

Le produit de deux nœuds. 

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Le cercle joue le rôle d'unité pour ce produit. Les nœuds premiers sont ceux qu'on ne peut décomposer en produit de nœuds plus simples et l'on a montré que tout nœud se décompose de façon unique, à l'ordre près, en produit de nœuds premiers. Il suffit donc d'étudier ceux-ci. La classification des nœuds premiers est aujourd'hui connue jusqu'à l'ordre 13 : il en existe 12 965 et D. W. Summers a montré que le nombre de nœuds croît au moins exponentiellement en fonction de l'ordre.

Avec le nœud trivial, d'ordre 0, voici la répartition des nœuds premiers selon leur ordre et leur nombre, sans tenir compte des versions gauche et droite d'un même nœud, s'il y a lieu :

Nœud de trèfle et nœud en huit

Dessin : Nœud de trèfle et nœud en huit

Nœud de trèfle et nœud en huit. Les variantes droite et gauche du nœud de trèfle ne sont pas équivalentes. Par contre, celles du nœud en huit le sont; un tel nœud est dit réflexif. 

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De nombreux autres invariants ont été définis au début du xxe siècle. Entre autres :

— la surface « la plus simple » dont il est le bord ;

— les chemins que l'on peut parcourir quand « on tourne autour dans l'espace » et qui forment un groupe ;

— un polynôme, dû à James V. Alexander (1920) et défini à une puissance t n près. Par exemple, les polynômes du nœud de trèfle et du nœud en huit sont respectivement : Δ(t) = t2t+1 et Δ(t)=t2−3 t+1. Ces deux nœuds sont donc distincts.

Alexander a également montré que tout nœud peut être obtenu en refermant une tresse brin à brin. Par ailleurs, toujours dans les années 1920, Emil Artin a étudié algébriquement les tresses à n brins, qui forment également un groupe et qui sont engendrées par des croisements élémentaires d'un brin sur (ou sous) le suivant. Le problème de l'équivalence des tresses se ramène alors à une équivalence de mots écrits à l'aide des générateurs.

Comment faire un nœud de trèfle

Dessin : Comment faire un nœud de trèfle

Comment faire un nœud de trèfle. Le nœud de trèfle peut être obtenu en recollant les extrémités supérieures et inférieures de cette tresse à deux brins. 

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De nombreuses autres contributions jalonnent un siècle d'histoire. En particulier, K. Reidemeister (1920) a fourni un critère d'équivalence portant sur les diagrammes des nœuds qui a joué depuis lors un rôle considérable, de même que la découverte par J. H. Conway (1971) d'une relation liant les polynômes de trois nœuds ou chaînes qui ne diffèrent qu'en un seul croisement.

Mouvements de Reidemeister

Dessin : Mouvements de Reidemeister

Les mouvements de Reidemeister. Deux diagrammes représentent le même nœud si et seulement si l'on peut passer de l'un à l'autre à l'aide d'un nombre fini de mouvements de type I, II ou III." 

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Relation de Conway

Dessin : Relation de Conway

La relation de Conway. Si les nœuds ou chaînes N+, N- et N0 ne diffèrent qu'en un seul croisement, comme indiqué ici, leurs polynômes d'Alexander sont liés par la relation: ?(N+) - ?(N-) + (t1/2 - t-1/2) ? (N0) =... 

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En 1984, la communauté mathématique apprit avec surprise la découverte, par le mathématicien néozélandais Vaughan Jones, d'un nouvel invariant polynomial associé aux nœuds et chaînes. Ce polynôme, plus fin que celui d'Alexander, permet de distinguer entre les variantes gauche et droite d'un même nœud ; mais, en fait, la surprise est ailleurs : Jones étudiait des objets mathématiques (les algèbres de J. von Neumann) apparemment sans aucun rapport avec les nœuds ; ces algèbres non commutatives ont été introduites par J. von Neumann et F. J. Murray dans les années 1940 pour les besoins de la mécanique quantique et leur étude s'est poursuivie de façon autonome. Au cours de son étude, V. Jones remarqua une analogie de pure forme entre les relations liant certains opérateurs de ces algèbres, d'une part, et les relations découvertes par Artin entre les générateurs du groupe des tresses, d'autre part ; ce qui lui permit, via les tresses fermées, de transposer un invariant découvert dans le cadre des algèbres en un invariant polynomial dans le cadre de la théorie des nœuds. Ce polynôme a été généralisé depuis lors, de plusieurs façons différentes.

Une première généralisation, découverte simultanément et indépendamment par quatre groupes de mathématiciens est le polynôme HOMFLY (des initiales des auteurs), polynôme en x, x−1, y, y−1, z, z−1. Sa définition repose sur une relation analogue à celle de Conway : les polynômes de trois nœuds N+, N et N0 qui ne diffèrent qu'en un croisement vérifient :

Avec la condition supplémentaire que le polynôme du nœud trivial est : P(O)=1, le calcul se fait de proche en proche jusqu'à l'obtention de cercles disjoints.

Exemples du calcul du polynôme HOMFLY

Dessin : Exemples du calcul du polynôme HOMFLY

Deux exemples du calcul du polynôme HOMFLY. a) Polynômes de cercles séparés; b) Polynôme du nœud de trèfle droit. 

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Ce polynôme possède de nombreuses propriétés permettant de simplifier les calculs. Par exemple, si un nœud est le produit de deux nœuds, son polynôme est le produit de leurs polynômes. De plus, prendre l'image d'un nœud dans un miroir conduit à échanger x et y dans son polynôme ; ce qui montre que les deux nœuds de trèfle ne sont pas équivalents.

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Écrit par :

  • : chef du département mathématique et informatique du Palais de la Découverte

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Jean BRETTE, « NŒUDS (THÉORIE DES) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/noeuds-theorie-des/