NŒUDS ET TRESSES (mathématiques)

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La théorie mathématique des nœuds et des tresses naquit de l'idée du physicien britannique William Thomson, aussi connu sous le nom de lord Kelvin, qui en 1869 proposa de décrire la matière à partir de tubes d'éther tressés. Son collaborateur Peter Guthrie Tait entreprit dès 1876 de classifier tous les nœuds. Il définit d'abord les diagrammes de nœuds, qui sont leurs projections sur un plan, munis d'un moyen de distinguer le passage supérieur du passage inférieur lors d'un croisement. Il proposa de caractériser les nœuds alternés (définis comme admettant au moins un diagramme dans lequel un passage inférieur est toujours suivi par un passage supérieur) par le nombre minimal de croisements de leurs diagrammes. Des trois conjectures qu'il énonça alors, les deux premières furent démontrées en 1987 et la troisième fut résolue en 1993 grâce aux efforts conjugués des mathématiciens américains William W. Menasco de l'université de Buffalo dans l'État de New York et Morwen B. Thislethwaite de l'université du Tennessee à Knoxville.

Cette troisième conjecture de Tait affirme que le nombre de croisements est unique pour tous les diagrammes réduits correspondant à un nœud alterné orienté et premier. En d'autres termes, on peut passer d'un diagramme alterné à un autre correspondant au même nœud par une suite de transformations bien définies. Dans l'article « La Classification des liens alternés » publié en 1993 dans la revue Annals of Mathematics, Menasco et Thislethwaite utilisent des techniques géométriques et algébriques (qu'ils qualifient eux-mêmes d'élémentaires) et en particulier les propriétés des polynômes, introduits en 1984 par le mathématicien néo-zélandais Vaughan Jones et généralisés par le topologiste Louis H. Kauffman. L'existence et les propriétés de ces polynômes avaient déjà fait progresser bien des aspects de la théorie des nœuds. Pour obtenir leur résultat, Menasco et Thislethwaite profitent aussi de leur expérience commune dans la description de surfaces incompressibles dotées de frontières particulières.

—  Bernard PIRE

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Écrit par :

  • : directeur de recherche émérite au CNRS, centre de physique théorique de l'École polytechnique, Palaiseau

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Pour citer l’article

Bernard PIRE, « NŒUDS ET TRESSES (mathématiques) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/noeuds-et-tresses/