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Exploitation des mesures entachées d'erreurs fortuites

L'exploitation des mesures entachées d'erreurs fortuites est le problème posé par des séries importantes d'observations portant sur une grandeur x, compte tenu du fait que les erreurs systématiques supposées connues ont été éliminées. Il ne reste donc que des erreurs qu'on peut qualifier d'accidentelles, ou aléatoires, présentant une dispersion régie par les lois du hasard, et sur lesquelles on ne fait pour le moment aucune hypothèse.

Pour le dépouillement des résultats, il faudra donc trouver la loi de probabilité ainsi que la méthode permettant de chiffrer l'erreur probable. Un exemple classique fort connu est concrétisé par la dispersion des points d'impact des balles autour d'une cible ponctuelle. Les balles qui font mouche sont aussi rares que celles qui arrivent trop loin de la cible. On dit que les très petits écarts comme les très grands sont peu probables.

Le problème des erreurs aléatoires est similaire. Une erreur nulle est peu probable, comme d'ailleurs une erreur trop forte. Ces erreurs sont tantôt négatives, tantôt positives, et encadrent la valeur zéro. La qualité des mesures sera caractérisée par une moyenne convenablement dosée des écarts.

L'expérience et des considérations théoriques montrent que si x1, x2, x3, ..., xn sont les résultats d'un nombre important n d'observations (quelques dizaines au moins) portant sur une grandeur aléatoire x, ici erreur fortuite, la probabilité pour qu'un résultat soit compris entre x et x + dx est de la forme :

m étant la moyenne arithmétique considérée comme valeur probable de la grandeur cherchée :

La loi de Laplace-Gauss, qu'on appelle à tort ou à raison normale, prévoit une répartition symétrique des écarts xk — m autour de la valeur moyenne m, ce qui se traduit également par :

On calcule la valeur moyenne du module de l'écart

, son carré moyen σ2 ainsi que l'écart médian 0,6745 σ qu'on a autant de chance de dépasser que de ne pas dépasser (fig. 3).

Courbe de Laplace-Gauss

Dessin : Courbe de Laplace-Gauss

Dessin

Courbe de Laplace-Gauss. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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σ porte le nom d'écart type, et son inverse caractérise la précision.

Po [...]


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Méthode d'opposition

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Échantillonnage d'un signal

Échantillonnage d'un signal
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Courbe de Laplace-Gauss

Courbe de Laplace-Gauss
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Mesures : probabilités de confiance

Mesures : probabilités de confiance
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Écrit par :

  • : ingénieur de l'École supérieure d'électricité

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Georges NEY, « MESURE - Méthodologie », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mesure-methodologie/