MESURE, mathématique

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Définition de Peano

C'est en remarquant, dans un cours classique de son époque, que le concept d'aire était mal déterminé, que Giuseppe Peano fut conduit, en 1887, à en donner une définition assez précise.

Avant d'expliciter son travail, observons un cas très simple : celui d'une partie ouverte et bornée U d'une droite, à laquelle on cherche à attacher une longueur. Il se trouve qu'une telle partie est exactement la réunion disjointe d'intervalles ouverts ]anbn[ indexée par des entiers 0, 1, 2, ..., n... Le cas fini est immédiat : la longueur ne peut être que la somme finie des différences bn– an. Dans le cas infini, il suffit de la remplacer par une somme de série.

Si sommaire qu'il soit, ce schéma suffit pour engendrer un concept révolutionnaire : celui d'ensemble de mesure nulle. Une partie A de ℝ est dite de mesure nulle, ou encore négligeable, si, pour tout ε < 0, il existe un ouvert U contenant A et de mesure inférieure à ε. Une propriété de points qui n'est fausse que sur un ensemble négligeable de points est dite presque partout vraie.

Exposons l'idée de Peano sur des parties planes bornées B (l'intérieur d'une ellipse, par exemple). Il considère la famille de toutes les plaques polygonales incluses dans B. Puisque B est bornée, elle est par exemple incluse dans un rectangle R d'aire k. Son caractère borné fait que ces aires polygonales sont majorées par k. Leur ensemble admet donc une borne supérieure, c'est-à-dire un majorant des aires plus petit que tous les autres. Cette borne est la mesure intérieure M de l'ensemble B.

Le complémentaire B' de B dans R est lui aussi borné. Il admet donc une mesure intérieure M' ; Peano appelle alors mesure extérieure M+ de B le nombre k– M'.

Cette seconde mesure est indépendante du choix de R. Elle est supérieure ou égale à la mesure intérieure M ; c'est aussi la borne inférieure des aires des plaques polygonales contenant B. La partie B est dite mesurable, et de mesure M, si les nombres M et M+ sont égaux, M étant leur valeur commune. Po [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 3 pages

Écrit par :

Classification

Autres références

«  MESURE, mathématique  » est également traité dans :

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « Mesure et intégration »  : […] La conception de l'intégrale au xviii e  siècle reposait sur la notion intuitive d'« aire » : pour une fonction f  ( x ), continue et ≥ 0 dans un intervalle a ≤ x ≤ b , l'intégrale : était l'aire comprise entre la courbe y = f  ( x ), l'axe O x et les deux droites x = a et x = b . Avec la remise en ordre générale de l'analyse entreprise par Cauchy, on revient à une définition rigoureuse n'empru […] Lire la suite

BANACH STEFAN (1892-1945)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 609 mots

Dans le chapitre « Le problème de la mesure « universelle » »  : […] En 1914, le mathématicien Hausdorff, un des fondateurs de la topologie générale, avait posé le problème suivant : est-il possible d'associer à tout ensemble borné A de l'espace numérique R n à n dimensions un nombre positif ou nul m (A) tel que : a)  m (A 1 ∪ A 2 ) = m (A 1 ) + m (A 2 ) si A 1 et A 2 sont sans point commun ; b)  m (A) = m (B) si A et B se déduisent l'un de l'autre par une transla […] Lire la suite

BOREL ÉMILE (1871-1956)

  • Écrit par 
  • Maurice FRÉCHET
  •  • 2 309 mots

Dans le chapitre « Théorie des fonctions »  : […] Sommation des séries divergentes. L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes , il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important est la sommabilité exponentielle obtenue ainsi. Si u n est le […] Lire la suite

HAUSDORFF FELIX (1868-1942)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 688 mots

La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques. Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à Leipzig, puis étudia les mathématiques et l'astronomie à Leipzig, Fribourg-en-Brisgau et Berlin. En 1891, il ob […] Lire la suite

INTÉGRATION ET MESURE

  • Écrit par 
  • André REVUZ
  •  • 6 222 mots

Dans le chapitre « L'additivité dénombrable »  : […] On s'est efforcé, dans ce qui précède, de mettre en lumière les idées implicites essentielles de la théorie classique de la mesure et de l'intégration telle qu'elle s'est développée non sans difficultés des Grecs à Riemann, et qui constitue ce que l'on peut appeler la théorie élémentaire de la mesure. Mais, historiquement, cette prise de conscience de ce qui intervenait fondamentalement dans la th […] Lire la suite

KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 416 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Calcul des probabilités »  : […] Le nom de Kolmogorov est associé principalement au calcul des probabilités. Depuis les premiers travaux de Tchebychev, ce domaine était un sujet de prédilection de l'école mathématique russe. Les motivations de ce dernier, de Liapounov, de Markov, de Bernstein et de bien d'autres avaient été essentiellement d'établir des énoncés de plus en plus rigoureux des lois limites sous des conditions préci […] Lire la suite

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 094 mots

Dans le chapitre « Intégration des fonctions à valeurs vectorielles »  : […] (Ω, T , μ) est un espace mesuré par une mesure positive finie μ ; X est un espace de Banach et B X est la tribu borélienne de X (cf. intégration et mesure ). Une application f de Ω dans X est dite fortement mesurable si c'est une application mesurable (c'est-à-dire si l'image réciproque par f de tout élément de B X est un élément de T ) et s'il existe un sous-espace fermé séparable X 0 de X e […] Lire la suite

SYMBOLIQUE CALCUL

  • Écrit par 
  • Robert PALLU DE LA BARRIÈRE
  •  • 2 459 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Transformation de Laplace des fonctions et des mesures »  : […] Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur l'ensemble R des nombres réels et nulle pour les valeurs strictement négatives de la variable (c'est-à-dire que f est une fonction « à support positif »). Sa transformée de Laplace est la fonction L f de la variable complexe p définie par la formule : De même si μ est une mesure sur R à support positif, c'est-à-dire telle que μ(ϕ) = 0 […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

André WARUSFEL, « MESURE, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 août 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mesure-mathematique/