MÉCANIQUEMécanique analytique

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Formalisme lagrangien

Principe des travaux virtuels

On s'intéresse ici à l'étude d'un système dynamique classique, c'est-à-dire d'un assemblage de k points matériels qui peuvent être soumis à des liaisons (exemples : certains points peuvent être astreints à se mouvoir sur une courbe ou une surface donnée ; deux points peuvent être liés de sorte que leur distance reste constante ; etc.).

On numérote les points par un indice j, avec j = 1, 2, ..., k, et l'on désigne par rj la position géométrique du point numéro j, par mj sa masse, par Fj la résultante des forces que l'on exerce sur lui. Les mécanismes assurant les liaisons peuvent exercer par ailleurs une force supplémentaire fj, appelée « force de liaison » ou force « de contact » (exemple : si un point matériel est lié par un fil inextensible à un point fixe, la liaison lui impose de rester sur une sphère ; la force de liaison est mesurée par la tension du fil). Le mouvement du système est alors déterminé par la loi de Newton :

j = 1, 2, ..., k ; on note par un point la dérivation par rapport au temps ; .rj est le vecteur vitesse du point numéro j, ..rj son accélération.

Imaginons, pour chaque point rj, un « déplacement virtuel » infinitésimal δrj, compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t (exemple : si rj est astreint à se déplacer sur une sphère, δrj est un vecteur quelconque tangent à la sphère) ; il résulte évidemment des équations (1) que l'on a :

(les crochets <,> désignent le produit scalaire ordinaire).

Réciproquement, le système (1) est vérifié si l'égalité (2) est valable quels que soient les déplacements virtuels δrj compatibles avec les liaisons : tel est le résultat découvert par d'Alembert (Traité de dynamique, 1743), que l'on appelle principe des travaux virtuels (parce que le terme écrit à droite de (2) est le travail des forces dans le « déplacement virtuel » défini par les δrj).

Dans le cas où les liaisons sont parfaites (exemples : glissements sans frottement ; liaisons des points à l'intérieur d'un solide), les forces de liaison ne [...]


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Pour citer l’article

Francis HALBWACHS, Jean-Marie SOURIAU, « MÉCANIQUE - Mécanique analytique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 28 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-mecanique-analytique/