MÉCANIQUE CÉLESTE

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Le mouvement des deux corps

Cas général

Le point B étant soumis à une force centrale constamment dirigée vers A, le mouvement se fait dans un plan passant par A et par le vecteur vitesse initiale V0 ayant pour origine la position initiale B0. Ce mouvement se fait suivant la loi des aires, c'est-à-dire que le rayon AB balaie au cours du mouvement des aires égales en des temps égaux.

Figure 1

Dessin : Figure 1

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Prenons, dans le plan de cette orbite plane, un système de coordonnées polaires d'origine A et d'axe polaire AB0 ; r est le rayon vecteur, θ l'angle polaire. La loi des aires donne :

C étant une constante.

Le théorème des forces vives donne :

V est le module du vecteur V, μ le produit de la constante de la gravitation universelle par la somme des masses de A et de B, et h une constante. Mais on a aussi :

Cette équation et les deux précédentes donnent, en éliminant le temps, l'équation différentielle de la trajectoire :

On peut facilement intégrer cette équation en posant :

et l'on trouve :

θ0 étant une constante. L'équation trouvée est l'équation d'une conique de foyer A (première loi de Kepler) et de paramètre C2/μ. L'axe focal est l'axe θ = θ0, et l'excentricité est le radical qui est en facteur de cos(θ − θ0). Par conséquent, le genre de la conique ne dépend que du signe de h. Or, d'après le théorème des forces vives :

donc, si V0 est plus petit que μ/r0, la trajectoire est une ellipse ; s'il est plus grand, la trajectoire est une hyperbole. Si V0 est égal à μ/r0, la trajectoire est une parabole ; on désigne parfois cette quantité par l'expression vitesse parabolique.

La trajectoire sera un cercle si V0 est perpendiculaire à AB0 et si l'excentricité est nulle. On montre facilement qu'il faut que V0 = μ/r0 pour qu'il en soit ainsi.

Le mouvement képlérien

Quand la trajectoire de B est une ellipse, le mouvement est dit képlérien. Ce mouvement joue un rôle particulièrement important en mécanique céleste.

Soit O le centre de l'ellipse décrite par B ; on rapporte l'ellipse à un système d'axes rectangulaires d'origine O, l'axe Ox étant porté par OA et orienté de O vers A. Le sommet du grand axe de [...]

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  • : docteur ès sciences, astronome au Bureau des longitudes

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Pour citer l’article

Bruno MORANDO, « MÉCANIQUE CÉLESTE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-celeste/