MATHÉMATIQUE

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Une science hypothético-déductive

S'appuyant sur une logique généralement bivalente (à deux valeurs : vrai et faux), la mathématique se développe à partir d'un petit nombre de notions premières indéfinissables, d'hypothèses appelées axiomes, non démontrables mais mettant en relation ces notions premières, et de règles permettant de définir de nouvelles notions, de former des expressions et d'en déduire de nouvelles. Parmi les notions premières, les principales sont celles d'ensemble et d'appartenance, qui sont liées par divers axiomes pour former la théorie des ensembles.

Les objets mathématiques, c'est-à-dire les entités abstraites que définit (ou adopte comme notions premières indéfinissables) et étudie la mathématique, sont soit des ensembles, soit (pour remédier au fait que l'on ne peut parler de « l'ensemble de tous les ensembles ») des ensembles et d'autres objets souvent appelés « collections » ou « classes ».

Notons toutefois que cette vision de la mathématique, inspirée par la conception de Bourbaki, n'est pas partagée par tous les mathématiciens : pour certains, qui souvent écrivent « mathématiques » au pluriel, de nombreux objets mathématiques ne sont que « représentés » par des ensembles. Ainsi, une construction classique de l'ensemble des nombres entiers naturels consiste à définir zéro comme l'ensemble vide (0 = Ø ; l'ensemble vide, noté Ø, dont l'affirmation de l'existence est un axiome, étant un ensemble, unique, qui ne contient aucun élément), un comme l'ensemble à un élément qui est l'ensemble vide (1 = {Ø}), deux comme l'ensemble à deux éléments qui sont 0 et 1 (2 = {0, 1} = {Ø, {Ø}}), etc., le « successeur » de n étant {0, 1, 2, ..., n} (qui, si l'on définit ensuite l'addition habituelle dans l'ensemble des nombres entiers naturels, est identique à n + 1). De ce point de vue, que nous défendons, les nombres entiers naturels sont des ensembles particuliers et sont parfaitement définis mathématiquement. Pour d'autres, au contraire, [...]


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  • : éditeur, diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

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Pour citer l’article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/mathematique/