LINÉAIRE ALGÈBRE

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Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels

Soit K un corps commutatif. On appelle espace vectoriel sur K, ou encore K-espace vectoriel, un ensemble E muni de deux lois de composition : une loi interne, application de E × E dans E, notée (xy) ↦ x + y et une loi externe, application de K × E dans K, notée (α, x) ↦ α ( x, ou encore (α, x) ↦ αx ; ces deux lois satisfaisant aux conditions suivantes :

(a) L'ensemble E, muni de l'addition, est un groupe commutatif. (b) Pour tout couple (α, β) d'éléments de K et pour tout élément x de E :

et, pour tout élément x de E, 1 ( x = x. (c) Pour tout couple (α, β) d'éléments de K et pour tout couple (xy) d'éléments de E :

Les éléments de E sont souvent appelés vecteurs, les éléments de K scalaires.

Applications linéaires

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. On dit qu'une application U de E dans F est K-linéaire ou, plus simplement, linéaire si, pour tout couple (xy) d'éléments de E et pour tout couple (α, β) de scalaires :

On dit aussi que U est un morphisme d'espaces vectoriels.

Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur K. Pour toute application linéaire U de E dans F et pour toute application linéaire V de F dans G, l'application composée V ∘ U est linéaire.

On dit qu'une application linéaire U de E dans F est un isomorphisme de E sur F s'il existe une application linéaire V de F dans E telle que :

Une application linéaire de E dans lui-même s'appelle endomorphisme de E, et un isomorphisme de E sur lui-même automorphisme de E.

Voici quelques exemples d'espaces vectoriels et d'applications linéaires :

1. Soit n un entier naturel non nul. L'ensemble Kn des suites de n éléments de K, muni des deux lois définies par les formules :

est un espace vectoriel sur K.

2. Soit A un ensemble non vide et F un espace vectoriel sur K. L'ensemble FA, noté encore F(A, F), des applications de A dans F, muni des deux lois définies par les formules :

est un espace vectoriel sur K.

3. Soit (Fi)i∈I une famille d'espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. L'ensemble produit :

muni des deux lois suivant [...]


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Écrit par :

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « LINÉAIRE ALGÈBRE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/lineaire-algebre/