WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

Fonctions d'une variable complexe

Dans l'étude des fonctions d'une variable complexe, contrairement à ses prédécesseurs, Weierstrass fait jouer le principal rôle aux développements tayloriens : c'est ce qu'on appelle le point de vue de Weierstrass, où holomorphie est synonyme d'analyticité, tandis qu'au point de vue de Cauchy l'holomorphie est la différentiabilité pour la structure complexe.

Ainsi, c'est à l'aide des développements tayloriens qu'en 1841 il démontre son théorème fondamental d'après lequel une limite de fonctions holomorphes, si elle est uniforme au voisinage de chaque point, fournit encore une fonction holomorphe ; les preuves données aujourd'hui utilisent de préférence intégrale et inégalités de Cauchy.

Sur ce théorème reposent à peu près tous les procédés usuels de construction de fonctions holomorphes à l'aide de séries, de produits infinis, d'intégrales. Weierstrass lui-même s'en servit d'abord (1842) pour établir la dépendance analytique, vis-à-vis de la donnée initiale, de la solution d'un système différentiel algébrique, puis pour prolonger analytiquement en une fonction entière l'inverse de la fonction eulérienne Γ. En effet, la forme d'Euler :

n'a de sens que pour Re x > 0 ; mais C. F. Gauss l'avait transformée en :et Weierstrass montra que cette limite est uniforme sur toute partie bornée du plan complexe. En introduisant la constante d'Euler :(cf. calculs asymptotiques, chap. 2), il aboutit à la forme de Weierstrass de la fonction Γ :une magnifique généralisation de cette formule lui permit, en 1876, de construire une fonction entière ayant une suite de zéros a_n arbitrairement donnée, pourvu évidemment que a_n → ∞ (cf. fonctions analytiques Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 8) ; il utilise pour cela les facteurs primaires de Weierstrass :où les p_n sont des entiers naturels convenablement choisis :pour p ≥ 1.

Ayant construit les produits de Weierstrass :

on voit sans peine que toute fonction entière f (x) se factorise en un tel produit, une puissance entière de x et l'exponentielle d'une autre fonction entière g(x), certains [...]

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