WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)
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Fonctions d'une variable complexe
Dans l'étude des fonctions d'une variable complexe, contrairement à ses prédécesseurs, Weierstrass fait jouer le principal rôle aux développements tayloriens : c'est ce qu'on appelle le point de vue de Weierstrass, où holomorphie est synonyme d'analyticité, tandis qu'au point de vue de Cauchy l'holomorphie est la différentiabilité pour la structure complexe.
Ainsi, c'est à l'aide des développements tayloriens qu'en 1841 il démontre son théorème fondamental d'après lequel une limite de fonctions holomorphes, si elle est uniforme au voisinage de chaque point, fournit encore une fonction holomorphe ; les preuves données aujourd'hui utilisent de préférence intégrale et inégalités de Cauchy.
Sur ce théorème reposent à peu près tous les procédés usuels de construction de fonctions holomorphes à l'aide de séries, de produits infinis, d'intégrales. Weierstrass lui-même s'en servit d'abord (1842) pour établir la dépendance analytique, vis-à-vis de la donnée initiale, de la solution d'un système différentiel algébrique, puis pour prolonger analytiquement en une fonction entière l'inverse de la fonction eulérienne Γ. En effet, la forme d'Euler :






Ayant construit les produits de Weierstrass :

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Écrit par :
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
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Pour citer l’article
Michel HERVÉ, « WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM - (1815-1897) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/karl-theodor-wilhelm-weierstrass/