ISOMORPHISME, mathématiques

ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 224 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Homomorphismes d'anneaux et algèbres »  : […] Soient A et B deux anneaux (ou deux algèbres) et f une application de A dans B. Conformément aux définitions générales des morphismes, on dira que f est un homomorphisme d'anneau (ou d'algèbre) si f respecte la structure d'anneau (ou d'algèbre) : (et éventuellement, si A et B sont des algèbres, f  (λ x ) = λ f  ( x ) pour tout scalaire λ) pour des éléments x et y quelconques de A ; on impose de p […] Lire la suite

EXPONENTIELLE & LOGARITHME

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 278 mots
  •  • 8 médias

Dans le chapitre « Comportement et graphe »  : […] La fonction logarithme népérien est strictement croissante pour x > 0, car sa dérivée est strictement positive dans cet intervalle. Étudions le comportement du logarithme lorsque x tend vers l'infini. Pour tout entier n , on a : si A est un nombre positif, soit N un entier plus grand que A /(ln 2). Pour x  >  2 N  = B, on a : ce qui montre que : On en déduit facilement le comportement de ln x […] Lire la suite

GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par 
  • Pierre COSTABEL, 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 4 922 mots

Dans le chapitre « Le calcul sur les objets abstraits »  : […] Le point de vue de Gauss sur les objets « mathématiques » est déjà identique au nôtre : « Le mathématicien, dit-il, fait complètement abstraction de la nature des objets et de la signification de leurs relations ; il n'a qu'à énumérer les relations et les comparer entre elles » ( Werke , t. II, p. 176). Dans ses travaux d'arithmétique supérieure, Gauss met plusieurs fois ce précepte en pratique : […] Lire la suite

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 13 071 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Applications régulières »  : […] Soient X ⊂  k m et Y ⊂  k n des ensembles algébriques affines ; une application u de X dans Y est dite régulière si les coordonnées u 1 ( x ), u 2 ( x ), ...,  u n ( x ) de u ( x ) sont des fonctions polynomiales des coordonnées du point x de X. En particulier, les applications régulières de X dans k , encore appelées fonctions régulières sur X, sont les fonctions polynomiales des coordonnées […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Morphismes »  : […] Conformément aux définitions générales pour les structures algébriques, on dit qu'une application f d'un groupe G dans un groupe G′ est un morphisme , ou un homomorphisme , de groupe si on a : pour tout couple d'éléments de G. Par exemple, le logarithme usuel réalise un homomorphisme du groupe multiplicatif R * + des nombres réels strictement positifs sur le groupe additif de tous les nombres ré […] Lire la suite

LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 13 828 mots

Dans le chapitre « Applications linéaires »  : […] Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. On dit qu'une application U de E dans F est K- linéaire ou, plus simplement, linéaire si, pour tout couple ( x ,  y ) d'éléments de E et pour tout couple (α, β) de scalaires : On dit aussi que U est un morphisme d'espaces vectoriels. Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur K. Pour toute application linéaire U de E dans F et p […] Lire la suite

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 094 mots

Dans le chapitre « Isomorphismes, isométries »  : […] Une application linéaire bijective u d'un espace normé E sur un espace normé F telle que u et u -1 soient continues est un isomorphisme de E sur F ; deux espaces normés E et F sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de E sur F ; du point de vue topologique, les espaces E et F sont homéomorphes (cf. topologie -Topologie générale ). Compte tenu de ce qui a été dit sur la continuité des applicat […] Lire la suite

POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 2 313 mots

Dans le chapitre « Fonction polynomiale associée à un polynôme formel »  : […] Soit A un anneau commutatif unitaire et : un élément de A[X] écrit sous la forme (3). On appelle valeur de P sur un élément x  ∈ A l'élément : et fonction polynomiale associée à P l'application P* : A → A définie par P*( x ) = P( x ) ; dans la pratique, on désigne encore par P cette fonction polynomiale. Les fonctions polynomiales, c'est-à-dire les applications de A dans A pouvant s'obtenir à pa […] Lire la suite