ISLAM (La civilisation islamique)Les mathématiques et les autres sciences

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Les mathématiques

L'algèbre

Paru à Bagdad entre 813 et 830, Kitāb al-jabr wa al-muqābala, d'al-Khwārizmī, est le premier livre où le terme d'algèbre apparaît dans un titre – al-jabr et al-muqābala y désignent à la fois une discipline et deux opérations ; soit, par exemple, x2 + c − bx = d, avec c > d ; l'algèbre consiste à transposer les expressions soustractives (x2 + cbx + d), et al-muqābala à réduire les termes semblables : x2 + (c – d) = bx.

Le but d'al-Khwārizmī est clair, jamais conçu auparavant : élaborer une théorie des équations résolubles par radicaux, auxquelles peuvent être ramenés indifféremment les problèmes arithmétiques et géométriques, et ainsi pouvoir s'en servir dans le calcul, les échanges commerciaux, les successions, l'arpentage des terres, etc.

Dans la première partie de son livre, al-Khwārizmī commence par définir les termes primitifs de cette théorie qui, en raison de l'exigence de résolution par radicaux et à cause de son savoir-faire en ce domaine, ne pouvait concerner que les équations des deux premiers degrés. Il s'agit en fait de l'inconnue – indifféremment appelée « racine » ou « chose » –, de son carré, des nombres rationnels positifs, des lois de l'arithmétique ±, ×, ÷, de l'égalité. Les principaux concepts introduits ensuite par al-Khwārizmī sont l'équation du premier degré, celle du second degré, les binômes et les trinômes associés, la forme normale, les solutions algorithmiques et la démonstration de la formule de solution. Le concept d'équation apparaît dans le livre d'al-Khwārizmī pour désigner une classe infinie de problèmes, et non pas, comme chez les Babyloniens, au cours de la solution de l'un ou l'autre problème. Par ailleurs, les équations ne sont pas présentées au cours de la solution des problèmes à résoudre, comme chez les Babyloniens ou chez Diophante, mais dès le départ, à partir des termes primitifs dont les combinaisons doivent donner toutes les formes possibles. Ainsi, al-Khwārizmī donne, immédiatement après avoir introduit les termes primitifs, les six types suivants : ax2 = bx, ax2 = c, bx = c, ax2 + bx = c, ax2 + c = bx, ax2 = bx + c. Il introduit ensuite la notion de forme normale et exige de réduire chacune des précédentes équations à la forme normale correspondante. Il en résulte en particulier, pour les équations trinômes : x2 + px = q, x2 + q = px, x2 = px + q.

Al-Khwārizmī passe alors à la détermination des formules algorithmiques des solutions. Il démontre également les différentes formules des solutions, non pas algébriquement, mais au moyen de la notion de l'égalité des aires. Il était vraisemblablement inspiré par une connaissance toute récente des Éléments d'Euclide, traduits par son collègue à la Maison de la sagesse al-Hajjāj ibn Maṭar. Al-Khwārizmī entreprend ensuite une brève étude de quelques propriétés de l'application des lois élémentaires de l'arithmétique aux expressions algébriques les plus simples. Il étudie ainsi les produits du type (a ± bx) (c ± dx), avec a, b, c, d ∈ Q+.

Pour mieux saisir l'idée qu'al-Khwārizmī se faisait de la nouvelle discipline, ainsi que la fécondité de celle-ci, il ne suffit certes pas de comparer son livre aux compositions mathématiques anciennes ; il faut également examiner l'impact qu'il eut sur ses contemporains et sur ses successeurs. C'est alors seulement qu'il se dressera dans sa véritable dimension historique. Or l'un des traits, essentiels selon nous, de ce livre est qu'il a immédiatement suscité un courant de recherche algébrique. Le biobibliographe du xe siècle al-Nadīm nous livre déjà une longue liste des contemporains et des successeurs d'al-Khwārizmī qui ont poursuivi sa recherche. Y figurent parmi bien d'autres Ibn Turk, Sind ibn ‘Ali, al-Saīdanānī, Thābit ibn Qurra, Abū Kāmil, Sinān ibn al-Fatḥ, al-Ḥubūbī, Abū al-Wafā' al-Būzjānī.

Au temps d'al-Khwārizmī et immédiatement à la suite, on assiste essentiellement à l'extension des recherches que celui-ci a déjà entreprises : la théorie des équations quadratiques, le calcul algébrique, l'analyse indéterminée et l'application de l'algèbre aux problèmes de successions, de partages, etc. La recherche dans la théorie des équations s'est elle-même engagée dans plusieurs voies. La première est celle qui a déjà été frayée par al-Khwārizmī lui-même, mais cette fois avec une amélioration de ses démonstrations protogéométriques : c'est la direction suivie par Ibn Turk qui, sans rien ajouter de nouveau, reprend une discussion plus serrée de la preuve. Plus importante est la voie qu'emprunte un peu plus tard Thābit ibn Qurra. Celui-ci revient en effet aux Éléments d'Euclide, à la fois pour établir les démonstrations d'al-Khwārizmī sur des bases géométriques plus solides et pour traduire géométriquement les équations du second degré. Ibn Qurra est d'ailleurs le premier à distinguer nettement entre les deux méthodes, algébrique et géométrique, dont il cherche à montrer qu'elles aboutissent toutes deux au même résultat, c'est-à-dire à l'interprétation géométrique des procédés algébriques.

Mais cette traduction géométrique par Ibn Qurra des équations d'al-Khwārizmī s'avère particulièrement importante, on le verra, pour le développement de la théorie des équations algébriques. Une autre traduction, bien différente, a eu lieu presque en même temps, qui elle aussi sera fondamentale pour le développement de la même théorie : celle des problèmes de géométrie dans les termes de l'algèbre. Al-Māhānī, en effet, contemporain d'Ibn Qurra, ne commence pas seulement à traduire certains problèmes biquadratiques du livre X des Éléments en équations algébriques, mais aussi un problème solide, celui qui est donné dans De la sphère et du cylindre d'Archimède, en équation cubique.

On assiste également, après al-Khwārizmī, à l'extension du calcul algébrique. C'est là peut-être le principal thème de recherche, et le plus communément partagé, des algébristes succédant à celui-ci. On a ainsi commencé par étendre les termes mêmes de l'algèbre jusqu'à la sixième puissance de l'inconnue, comme on le voit chez Abū Kāmil et Sinān ibn al-Fatḥ. Celui-ci définit d'ailleurs multiplicativement ces puissances, à la différence d'Abū Kāmil, qui en donne une définition additive. Mais c'est l'œuvre algébrique de ce dernier qui marque à la fois l'époque et l'histoire de l'algèbre. Outre l'extension du calcul algébrique, il intègre à son livre un nouveau chapitre d'algèbre, l'analyse indéterminée, ou l'analyse diophantienne rationnelle.

Mais on ne comprendrait rien à l'histoire de l'algèbre si on ne soulignait les apports de deux courants de recherche qui se sont développés durant la période précédemment considérée. Le premier portait sur l'étude des quantités irrationnelles, soit à l'occasion d'une lecture du dixième livre des Éléments, soit, [...]

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Pour citer l’article

Georges C. ANAWATI, Roshdi RASHED, « ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/islam-la-civilisation-islamique-les-mathematiques-et-les-autres-sciences/