INVARIANT, mathématique

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Classifications

Dans les mathématiques contemporaines, la notion d'invariant s'est encore étendue : on entend désormais par là un paramètre qui permet de classer un ensemble d'objets mathématiques en classes à l'intérieur desquelles le paramètre ne varie pas. Ce paramètre peut être de nature numérique, mais aussi de nature plus compliquée : fonction, espace vectoriel, etc.

Souvent, mais pas toujours, la classification est définie par un groupe de transformations d'un ensemble E. Comme dans l'exemple des coniques, deux éléments de E sont dans la même classe lorsque l'un est transformé de l'autre par une transformation appartenant au groupe.

Plus généralement, les classes en question peuvent apparaître comme classes d'isomorphisme ou de déformation pour une structure particulière : espaces topologiques, variétés algébriques, riemanniennes, etc.

À quoi servent de telles classifications ? D'une part, on définit ou on réalise certains objets mathématiques comme classes ou comme ensemble de classes – l'ensemble des classes est appelé ensemble quotient ou espace quotient –, par exemple l'orientation du plan et de l'espace, l'angle de deux droites, certaines variétés. D'autre part, les classifications permettent de mettre en œuvre la puissance d'abstraction des mathématiques. Lorsqu'on découvre une propriété d'un objet mathématique particulier, on cherche une bonne notion d'isomorphisme ou, plus généralement, de classification, telle que tous les objets de la classe possèdent cette propriété.

L'objectif est souvent de construire suffisamment d'invariants, aussi simples que possible, sur l'ensemble étudié pour pouvoir décider si deux objets appartiennent à la même classe. Par exemple, la dimension d'un espace vectoriel est invariante par isomorphisme linéaire et caractérise un espace vectoriel de dimension finie à isomorphisme linéaire près.

Les invariants sont éventuellement utilisés pour munir l'espace quotient de structures supplémentaires, algébriques ou géométriques. Il faut aussi disposer de méthodes pour calculer les invariants [...]


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Écrit par :

  • : professeur des Universités, professeur associée à l'École polytechnique, centre de mathématiques Laurent Schwartz

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Pour citer l’article

Nicole BERLINE, « INVARIANT, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/invariant-mathematique/