INTÉGRATION ET MESURE

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Intégration et dérivation

Un très célèbre théorème d'analyse classique énonce que, si f est une fonction continue réelle définie sur [ab], l'application :

est dérivable et admet (x) pour dérivée au point x.

En vertu de ce théorème, intégration et dérivation sont souvent présentées comme des « opérations inverses » l'une de l'autre.

En réalité, la recherche des primitives (ce qui est vraiment l'inversion de la dérivation) et l'intégration ne coïncident nullement, car les fonctions intégrables ne sont pas toutes des fonctions dérivées, et les fonctions dérivées ne sont pas toutes intégrables.

Le problème de la recherche des primitives de la fonction dérivée la plus générale a été résolu par A. Denjoy dans sa belle et difficile théorie de la totalisation.

Mais le problème peut être présenté autrement : partant d'un espace mesuré (X, B, μ) et d'une fonction intégrable f, on peut définir une mesure ν sur B, en prenant pour valeur ν(A) de la mesure d'un élément A de B l'intégrale de fχA, où χA est la fonction caractéristique de A. Réciproquement, ν étant une mesure sur B, existe-t-il une fonction intégrable f telle que, pour tout A ∈ B, on ait :

La réponse est fournie par le théorème de Radon-Nikodym (d'ailleurs énoncée et démontrée par Lebesgue dans le cas où μ est la mesure de Lebesgue sur R), que nous ne donnerons pas dans sa plus grande généralité : Si X ∈ B et μ(X) < + ∞, la condition nécessaire et suffisante pour que ν puisse s'exprimer par :

est que, pour tout ensemble B de B,

La fonction f n'est évidemment déterminée que presque partout, mais est unique à cela près, et peut être considérée comme une densité de la mesure ν par rapport à la mesure μ : c'est, en fait, la meilleure manière et la plus générale de concevoir la notion de densité.

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Écrit par :

  • : professeur à la faculté des sciences de Paris, directeur de l'Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques

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Pour citer l’article

André REVUZ, « INTÉGRATION ET MESURE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/integration-et-mesure/