INTÉGRATION ET MESURE

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Le problème initial Généralités

Mesurer est une activité dont l'existence est attestée dans toutes les sociétés historiques, et il est assez surprenant de constater que ce n'est que dans un passé relativement récent, au début du xxe siècle, que la réflexion mathématique a commencé à en établir une théorie claire et cohérente.

Il faut tout de suite remarquer que le problème, pris dans sa plus grande généralité, reste encore mystérieux : on ne sait pas encore très clairement, par exemple, le sens qu'il faut donner au mot « mesurer », ni même si on peut vraiment lui donner un sens dans le domaine des sciences humaines, bien qu'on ait l'impression qu'une bonne conception de la mesure puisse y être l'origine de progrès décisifs.

Il faut encore remarquer que le mot « mesure » a, en mathématique, un sens plus restreint qu'en physique, et que ce que le mathématicien appelle théorie de la mesure ne s'applique directement qu'à une partie de l'activité du physicien et ne vise que la structure conceptuelle à l'exclusion des procédés expérimentaux de détermination des valeurs numériques qui relèvent de la métrologie.

Ce qui a retardé la naissance d'une bonne théorie de la mesure a été l'incapacité où est demeurée longtemps l'humanité de distinguer nettement entre ce que l'on mesure d'une part et l'échelle avec laquelle on mesure d'autre part, et de concevoir clairement ce qui les lie. L'échelle est constituée par le corps ordonné R des nombres réels (cf. nombres réels), dont la théorie définitive n'a été élaborée qu'à la fin du xixe siècle (G. Cantor, R. Dedekind), mais qui avait été déjà presque totalement construit par le mathématicien grec Eudoxe, au ive siècle avant J.-C., sous le nom, que la tradition a conservé, de mesure des grandeurs (et de rapports de grandeurs), qui est révélateur de la confusion signalée plus haut. En réalité, Eudoxe ne considérait que ce que nous appelons les nombres réels positifs. Il le faisait d'une manière rigoureusement correcte et extrêmement pure : il est émouvant pour le mathématicien contemporain d [...]

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Écrit par :

  • : professeur à la faculté des sciences de Paris, directeur de l'Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques

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Pour citer l’article

André REVUZ, « INTÉGRATION ET MESURE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/integration-et-mesure/