LEBESGUE INTÉGRALE DE

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « Mesure et intégration »  : […] La conception de l'intégrale au xviii e  siècle reposait sur la notion intuitive d'« aire » : pour une fonction f  ( x ), continue et ≥ 0 dans un intervalle a ≤ x ≤ b , l'intégrale : était l'aire comprise entre la courbe y = f  ( x ), l'axe O x et les deux droites x = a et x = b . Avec la remise en ordre générale de l'analyse entreprise par Cauchy, on revient à une définition rigoureuse n'empru […] Lire la suite

INTÉGRATION ET MESURE

  • Écrit par 
  • André REVUZ
  •  • 6 222 mots

Dans le chapitre « L'intégrale de Lebesgue »  : […] En même temps qu'il démontrait l'existence de mesures σ-additives, Lebesgue définissait l'intégrale qui porte son nom. Dans le cas simple de fonctions réelles bornées nulles hors d'un élément de B de mesure finie, le processus indiqué pour l'intégrale de Riemann conduit, à condition de partir des fonctions étagées relatives à (X, B , μ), à l'intégrale de Lebesgue. Les fonctions bornées nulles hor […] Lire la suite

LEBESGUE HENRI (1875-1941)

  • Écrit par 
  • Lucienne FÉLIX
  •  • 2 262 mots

Dans le chapitre « L'intégrale et la mesure de Lebesgue »  : […] Les sommes de Riemann (1), valables pour les fonctions continues, ne conviennent qu'à des classes particulières de fonctions discontinues parce qu'elles font appel à la condition de continuité : f  ( x ) varie peu dans l'intervalle ( x i , x i+1 ). Lebesgue a l'idée de retourner la situation : « Nous voulons grouper des valeurs voisines de f  ( x ) ? Faisons-le ! » Si la fonction f est bornée, c' […] Lire la suite

RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

  • Écrit par 
  • Béla SZŐKEFALVI-NAGY
  •  • 1 514 mots

Dans le chapitre « L'intégrale de Lebesgue »  : […] L'introduction de l 'intégrale de Lebesgue fut une grande innovation de l'analyse au début du xx e  siècle et a été d'abord accueillie avec une certaine réserve de la part de beaucoup de mathématiciens. Riesz en a immédiatement reconnu l'importance, et le théorème de Riesz-Fischer fut l'une des premières preuves de l'utilité des nouvelles notions. Par la suite, il s'est efforcé de rendre cette thé […] Lire la suite