INFINI, mathématiques

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Les Grecs et l'infini mathématique

Les irrationnelles

Nous connaissons par Aristote (Premiers Analytiques, 14, a, 26) en quoi a consisté la rencontre des Grecs avec l'infini mathématique. Ce fut la « découverte », attribuée à un pythagoricien, et qui fit scandale, de l'incommensurabilité de la diagonale du carré. Le premier scolie du livre X des Éléments d'Euclide, en même temps qu'il expose le contenu de la découverte, commente en ces termes la légende selon laquelle celui qui le premier avait divulgué l'irrationalité de 2 aurait péri noyé dans un naufrage : « Les auteurs de la légende ont voulu parler par allégorie. Ils ont voulu dire que tout ce qui est irrationnel et privé de forme doit demeurer caché. Que si quelque âme veut pénétrer dans cette région secrète et la laisser ouverte, alors elle est entraînée dans la mer du devenir et noyée dans l'incessant mouvement de ses courants. » Découvrir 2 c'était entrer dans le lieu où règne la démesure, où s'effacent les contours, où s'accumulent les multiplicités indominables et redoutables, le lieu sans frontières de l'́απειρον (l'indéfini).

Pourtant la « découverte » s'inscrivait rigoureusement dans le champ de la mathématique grecque. Le concept de nombre y comportait deux pôles distincts. Le premier, de nature ontologique, avait été élaboré par les pythagoriciens eux-mêmes : le nombre est pensé comme une essence composée, dont les éléments, essences élémentaires, sont les unités (monades). Ces unités sont pensées comme des points indivisibles. Un nombre est alors une architecture originale construite d'une multiplicité discontinue d'unités-points. Cette conception vivra longtemps dans l'arithmétique des Grecs ; on la retrouve au livre VII des Éléments d'Euclide (définitions 1 et 2 : « Le nombre est une multiplicité faite d'unités »). Le second pôle est de nature opératoire. Le nombre y est conçu comme lié à l'opération de mesu [...]


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Pour citer l’article

Jean Toussaint DESANTI, « INFINI, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/infini-mathematiques/