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La numération positionnelle décimale, une invention du sous-continent indien?

L’un des enjeux de l’histoire des mathématiques du sous-continent, et qui a intrigué à partir de la fin du xviiie siècle orientalistes et mathématiciens, concerne l’invention du système de numération positionnelle décimale, qui serait à l’origine de celui que nous utilisons aujourd’hui.

Il faut distinguer ici ce que disent les textes savants de ce que transmettent les inscriptions épigraphiques qui, elles, témoignent de l’usage de systèmes de numération dans l’administration : les systèmes de notation des nombres n’étaient pas nécessairement unifiés sur l’ensemble du territoire à un moment donné.

Les premiers signes écrits connus dans le sous-continent, après les sceaux de l’Indus, sont les inscriptions du roi Aśoka, converti spectaculairement au bouddhisme sans doute aux environs de 263 avant notre ère. Ces écrits sont rédigés en plusieurs langues et écritures. Notamment une écriture, la brāhmī, qui donnera naissance à de nombreuses autres écritures dans le sous-continent indien et en Asie du Sud-Est. L’écriture des chiffres, qui se note de gauche à droite, utilise une notation en base dix : il existe des signes pour les unités (un à neuf) puis pour dix, cent et mille. Les nombres y sont exprimés par addition ou multiplication de ces signes.

L’antériorité éventuelle du manuscrit Bhakhshalī (datation controversée de l’ensemble de son contenu) mise à part, c’est à partir du ve siècle de notre ère que peu à peu apparaît dans certaines inscriptions une notation positionnelle décimale utilisant les signes employés en brāhmī pour les chiffres et un petit cercle (bindu) pour désigner un espace vide (śunya) dans cette notation, à l’image du « zéro de Gwalior », qui daterait du xe siècle de notre ère. La plus ancienne de ces inscriptions (à distinguer de ce qu’on trouve dans des textes manuscrits) se trouve non pas dans le sous-continent indien à proprement parler, mais dans sa sphère d’influence, au Cambodge. Par ailleurs, au viie siècle surviennent dans l’œuvre de Brahmagupta des règles de calculs sur zéro nous montrant que, dans les cercles savants du moins, le zéro avait bien le statut de quantité sur laquelle des opérations pouvaient être conduites.

Exemple de multiplication en zigzag

Dessin : Exemple de multiplication en zigzag

Ce manuscrit, annoté (en vert pâle) par S. Dvivedi (université de Bénarès), donne un exemple de multiplication en zigzag d'après Pṛthūdaka (ca. IXe siècle) commentant Brahmagupta. Pour multiplier 235 (en rouge) par 288 (en jaune), on utilise une procédure où le multiplicande est... 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Les définitions savantes de la numération positionnelle apparaissent un peu avant ces premières sources épigraphiques mais, puisqu’il s’agit de compilations de textes antérieurs, sans doute cette notation était-elle en usage quelques centaines d’années avant elles. En effet, certains textes du tournant de notre ère semblent évoquer l’existence d’un abaque utilisant des bâtons (vārtikās) ou des perles (gulikās) pour effectuer des calculs à l’aide de la notation positionnelle décimale. Les définitions de cette numération apparaissent quant à elles dans des textes de sciences astrales qui témoignent d’une influence hellénistique et mésopotamienne, tant par l’adoption de l’horoscope que par l’usage de mesures de temps en base soixante ou une mathématisation du mouvement des planètes au moyen d’épicycles et d’excentriques. De même que pour les sources épigraphiques, la date de la plus ancienne définition de cette notation est discutée, mais le fait qu’elle soit énoncée dans des textes savants montre que cette notation devait être perçue comme un outil pour « calculateurs » érudits, et n’était pas nécessairement employée pour calculer quotidiennement ou pour effectuer des comptes administratifs.

En effet, trois textes du début de l’époque médiévale (ve siècle de notre ère-xiiie siècle) témoignent de l’usage de cette notation des nombres dans un cadre savant lié aux sciences astrales. Ils nous parviennent après une période de silence due à l’absence de sources transmises. Après les premiers textes de l’époque védique, nous devons en effet attendre les premiers siècles de notre ère avant d’obtenir des sources mathématiques qui nous parviennent sous la forme de résumés, de compilations, de textes qui synthétisent le savoir en en permettant le renouveau. Ce renouveau précède ce moment où la culture savante et religieuse du sous-continent indien, par la voie de marchands et de moines, va s’étendre au-delà des frontières et rayonner tout au long et au-delà de ce qui s’appellera plus tard « la route de la soie ».

De fait, le « Calcul de la nativité des Grecs » (Yavanjātaka) – un texte d’as [...]

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Sceau de la civilisation de l’Indus

Sceau de la civilisation de l’Indus
Crédits : Luisa Ricciarini/ Leemage

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Exemple de multiplication en zigzag

Exemple de multiplication en zigzag
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Grande horloge solaire de l’observatoire de Jaipur

Grande horloge solaire de l’observatoire de Jaipur
Crédits : Nadezda Murmakova/ Shutterstock

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Écrit par :

  • : chargée de recherche au laboratoire SPHERE, CNRS, UMR 7219, université de Paris-VII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Agathe KELLER, « INDE (Arts et culture) - Les mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 février 2023. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/inde/